考研数学一真题解析.doc

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）若函数在连续，则（　）。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由连续的定义可得，而
，，因此可得，故选择A。
（2）设函数可导，且，则（　）。
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】令，则有，故单调递增，则，即，即，故选择C。
（3）函数在点处沿向量的方向导数为（　）。
A.12
B.6
C.4
D.2
【答案】D
【解析】，因此代入可得，则有。
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（　）。

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】从0到时刻，甲乙的位移分别为与，由定积分的几何意义可知，，因此可知。
（5）设为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（　）。
A. 不可逆
B. 不可逆
C. 不可逆
D. 不可逆
【答案】A
【解析】因为的特征值为0（n-1重）和1，所以的特征值为1（n-1重）和0，故不可逆。
（6）已知矩阵，则（　）。
A.A与C相似，B与C相似
B. A与C相似，B与C不相似
C. A与C不相似，B与C相似
D. A与C不相似，B与C不相似
【答案】B
【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。
（7）设A，B为随机事件，若，且的充分必要条件是（　）。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由得，即，因此选择A。
（8）设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（　）。
A. 服从分布
B. 服从分布
C. 服从分布
D. 服从分布
【答案】B
【解析】，故，，因此，故，故B错误，由可得，，，则有，因此。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）已知函数，则=_________。
【答案】0
【解析】，因此
，代入可得。
（10）微分方程的通解为=_________。
【答案】
【解析】由，所以，因此，因此通解为：。
（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则=_________。
【答案】－1
【解析】设，因此可得：
，根据，因此可得。
（12）幂级数在区间内的和函数=_________。
【答案】
【解析】。
（13）设矩阵，为线性无关的3维向量，则向量组的秩为_________。
【答案】2
【解析】因为，而
，因此，所以向量组的秩2。
（14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则=_________。
【答案】2
【解析】

因此可得。
三、解答题： 15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
设函数具有2阶连续偏导数，，求。
【答案】，
【解析】因为，所以，因此

因此得：

（16）（本题满分10分）
求
【答案】
【解析】由定积分的定义可知，
，然后计算定积分，

（17）（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求的极值。
【答案】极大值为，极小值为。
【解析】对关于求导得：，
令得，因此，当时，，当时，。
对关于再次求导得：，将代入可得
当时，时，代入可得，当时，时，代入可得，因此有函数的极大值为，极小值为。

（18）（本题满分10分）
设函数在区间上具有2阶导数，且，，证明：
（Ⅰ）方程在区间内至少存在一个实根；
（Ⅱ）方程在区间内至少存在两个不同实根。
【答案】
（Ⅰ）证：因为，由极限的局部保号性知，存在，使得，而，由零点存在定理可知，存在，使得。
（Ⅱ）构造函数，因此，
因为，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根据零点定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有两个不同实根。
【解析】略
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体时圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的弧度为，记圆锥与柱面的交线为，
（Ⅰ）求在平面上的投影曲线的方程；
（Ⅱ）求的质量。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）64。
【解析】（Ⅰ）的方程为，投影到平面上为
（Ⅱ），
因此有。
（20）（本题满分11分）
三阶行列式有3个不同的特征值，且，
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）如果，求方程组的通解。
【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）。
【解析】（Ⅰ）证：因为有三个不同的特征值，所以不是零矩阵，因此，若，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此，又根据，所以，因此。
（Ⅱ）因为，所以的基础解系中只有一个解向量，又，即，因此基础解系的一个解向量为。因为，故
的特解为，因此的通解为。

（21）（本题满分11分）
设在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。
【答案】，正交矩阵
【解析】
二次型对应的矩阵为，因为标准型为，所以，从而，即，代入得，解得；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
当时，，化简得，对应的特征向量为；
从而正交矩阵。
（22）（本题满分11分）
设随机变量和相互独立，且的概率分布为，的概率密度为
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的概率密度。
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知：，则
（Ⅱ）先求的分布函数，由分布函数的定义可知：。由于为离散型随机变量，则由全概率公式可知

（其中为的分布函数：）
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做次测量，该物体的质量是已知的，设次测量结果相互独立，且均服从正态分布，该工程师记录的是次测量的绝对误差，利用估计
（Ⅰ）求的概率密度；
（Ⅱ）利用一阶矩求的矩估计量；
（Ⅲ）求的最大似然估计量。
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以，对应的概率密度为，设的分布函数为，对应的概率密度为；
当时，；
当时，；则的概率密度为；
（Ⅱ）因为，所以，从而的矩估计量为；
（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为，取对数得：，所以，令，得，所以的最大似然估计量为。