2016年高考理科数学全国2卷(附答案).doc

12B-SX-0000014
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________
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绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II卷
（全卷共12页）
(适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南)
注意事项：

1．
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

2．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．
考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I卷
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是
（A）（,） （B）（,） （C）（,） （D）（,）
（2） 已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（3） 已知向量，且，则
（A） （B） （C） （D）
（4） 圆的圆心到直线的距离为1，则
（A） （B） （C） （D）

（5） 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24
（B）18
（C）12
（D）9
（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π
（B）24π
（C）28π
（D）32π

（7） 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为
（A） （B）
（C） （D）

（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，,依次输入的为2，2，5，则输出的
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34

（9） 若，则
（A） （B）
（C） （D）
（10） 以从区间随机抽取个数，构成个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
（A） （B） （C） （D）

（11） 已知是双曲线：的左,右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（12） 已知函数满足，若函数与图像的交点为，则
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13） 的内角的对边分别为，若，则 ．
（14） 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题有 ．（填写所有正确命题的编号）
（15） 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
（16） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12分）
为等差数列的前项和，且．记，其中表示不超过的最大整数，如，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前1000项和.

（18） （本小题满分12分）
某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续
保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数

保 费

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数

概 率

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

（19） （本小题满分12分）
如图，菱形的对角线与交于点，，，点分别在上，，交于点.将沿折到的位置，.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．

（20） （本小题满分12分）
已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，.
（Ⅰ）当，时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围.

（21） （本小题满分12分）
（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，
；
（Ⅱ）证明：当时，函数有最小
值．设的最小值为，求函数的值域．

请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重
合），且,过点作,垂足为.
（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若，为的中点，求四边形的面

（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐
标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），与交于两
点，，求的斜率.

（24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，.

2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II卷 试题答案
一、选择题：
（1）A （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）C （11）A （12）C
二、填空题
(13) (14) ②③④ （15）1和3 （16）
三、解答题
（17）（本题满分12分）
（Ⅰ）设的公差为，据已知有，学.科.网解得
所以的通项公式为

（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
（18）（本题满分12分）
（Ⅰ）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（Ⅱ）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
（19）（本小题满分12分）
（I）由已知得，，又由得，故.
因此，从而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.

（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.
（20）（本小题满分12分）
（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是
（22）（本小题满分10分）
（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即

（23）（本小题满分10分）
（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，
所以的斜率为或.
（24）（本小题满分10分）
（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时， ；
当时，由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此

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