北师大版九年级下第二章二次函数学案.doc

精品文档 你我共享
2011—2012学年度上学期新村二初中导学案
课题
二次函数所描述的关系
时间
2011.11
学科
数学
年级
九年级
班级
九一
姓名
杨广超
主备人
杨广超
审核
邢永杰 陈喜花
课型
新授
学习目标:
1.通过看例题会总结二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点:
1.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习方法:
讨论探索法.
学习过程:
一、新课讲解
由实际问题探索二次函数关系
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．

归纳二次函数的定义

【例1】 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
【例2】

课堂小结
课堂检测：:
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
4．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
5．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）
A．S=2π（x＋3）2 B．S=9π＋x C．S=4πx2＋12x＋9 D．S=4πx2＋12x＋9π
【例3】正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．

【例4】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？

8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．

六、课后反思

2011—2012学年度上学期新村二初中导学案
课题
结识抛物线
时间
2011.11
学科
数学
年级
九年级
班级
九三
姓名
陈喜花
主备人
陈喜花
审核
邢永杰 陈喜花
课型
新授
学习目标:
1、 学生总结二次函数y=x2的图象的作法和性质，
2、 会利用描点法作出y=x2的图象，
3、 能够作出二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同
4、 学习重点:
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．
学习难点:
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
学习方法:
探索——总结——运用法.
学习过程:
一、作二次函数y=x的图象。

二、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、例题：

【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．

【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
四、课堂小结

五、课堂检测
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
5．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
6．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
7．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36

六、课后反思

2011—2012学年度上学期新村二初中导学案
课题
刹车距离与二次函数
时间
2011.10
学科
数学
年级
九年级
班级
九二
姓名
邢永杰
主备人
邢永杰
审核
邢永杰 陈喜花
课型
新授
学习目标:
1．二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
学习重点:
二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．
学习难点:
由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．
学习方法:
类比学习法。
学习过程:
一、复习：
二次函数y=x2 与y=-x2的性质：
抛物线
y=x2
y=-x2
对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

二、问题引入：
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
刹车距离与什么因素有关？
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：；雨天时：，请分别画出这两个函数的图像：

三、动手操作、探究：
1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？

四、知识研讨
【例1】 已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．

【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？

五、课堂检测
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）

8．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
9．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．

六、课后反思

§2.4 二次函数的图象（第一课时）
学习目标:
　　1．会用描点法画出二次函数 与 的图象；
　　2．能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
学习重点:
画出形如 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
学习难点:
理解函数 、 与 及其图象间的相互关系
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
一、复习引入
　　提问：1．什么是二次函数？
　　2．我们已研究过了什么样的二次函数？
　　3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

二、新课
复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.
例1   在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.
由图象思考下列问题：
　　（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
　　（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
　　（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线 与 同有什么关系？

继续回答：
　　①抛物线的形状相同具体是指什么？
　　②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
　　③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
　　④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？
　　⑤你认为是什么决定了会这样平移？
例2在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．

三、本节小结
　　本节课学习了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。　　填写下表：
　　表一：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

　　表二：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

§2.4 二次函数的图象（第二课时）
学习目标:
　　1．会用描点法画出二次函数 的图像；
　　2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标；
学习重点:
会画形如 的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
学习难点:
确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．

2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数 的图像？
3、你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

4、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？

5、抛物线 有什么关系？

6、它们的位置有什么关系？
①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？

总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：
　　1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？

§2.4 二次函数的图象习题课(两课时）
一、例题：
【例1】二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）
【例2】二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

【例3】在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的（ ）

【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？

【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

【例6】抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 ．
【例7】已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=－＋x＋，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？
（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
项目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
0．55
0．4
0．6
0．5
0．9
1
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．

【例9】已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是B（如图）．
（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【例10】如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数表达式，（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？

【例11】已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．

【例12】如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？

【例13】 如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；

【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．
（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？
（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）

【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

【例16】阅读材料，解答问题．
当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x2－2mx＋m2＋2m－1①，有y=（x－m）2＋2m－1②，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即
当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化．
把③代入④，得y=2x－1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x－1．
解答问题：
（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．
（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式．

二、课后练习：
1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ ）

3．已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
5．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
6．已知点（－1，y1）、（－3，y2）、（，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2

7．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
9．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）

10．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．

11．如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．

12．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．

13．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=－0．1x2＋2．6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？

14．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

15．欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把）．欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月售销量为100把，如果零售单价每降低0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原批发单价九五折（即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额－进货款额）

16．如图2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？
（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．

17．已知：如图2-4-25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．若△A′B′C′与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后，△A′B′C′与△ABC的重叠部分的面积为ycm2．求：
（1）y与x之间的函数关系；
（2）几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2？

§2.5 用三种方式表示二次函数
学习目标:
　　经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习重点:
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．
学习难点:
用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．
学习方法:
讨论式学习法。
学习过程:
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.

二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?

三、积累：
表示方法
优点
缺点
解析法

表格法

图像法

三者关系

表示方法
优点
缺点
解析法

表格法

图像法

三者关系

四、例题：
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．

【例2】 一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

【例3】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
60
70
刹车距离（m）
0
1．1
2．4
3．9
5．6
7．5
9．6
11．9
（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．

【例4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）

【例5】 美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？
为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．
（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．
（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．

（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？

五、随堂练习：
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
图① 图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是 ．
六、课后练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为 ，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为 ．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为 ．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为 ．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 ．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为 ．
10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－）和（－a，y1），则y1的值是 ．
11．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
s
1
3
6

…
（2）写出当n=10时，S= ．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．

12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

§2.6 何时获得最大利润
学习目标:
　　体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
学习重点:
本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．
学习难点:
本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．
学习方法:
在教师的引导下自主学习。
学习过程:
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?

二、做一做：
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?

三、举例：
【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x
3
5
9
11
y
18
14
6
2
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：
①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．