高中数学必修2立体几何常考题型:球的体积和表面积.doc
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1、球的体积和表面积【知识梳理】1球的体积设球的半径为R,则球的体积VR3.2球的表面积设球的半径为R,则球的表面积S4R2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍【常考题型】题型一、球的体积与表面积【例1】若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球面面积之比解设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,球的半径为R,则由题意得(2R)2hR3,Rh,r2h,l h,S圆锥侧rl2hh2h2,S球4R24h2,.【类题通法】求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素,把
2、握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了【对点训练】1球的体积是,则此球的表面积是()A12B16C. D.解析:选B设球的半径为R,则由已知得R3,解得R2.故球的表面积S表4R216.题型二、根据三视图计算球的体积与表面积【例2】一个几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积是_cm2.解析由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体,其中四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为12122,四棱柱中不重合的表面积为2122221212,半圆柱中不重合的表面积为22,半球的表面积为42,所以该几何体的表面积为412.答案412【类题通法】1由三视
3、图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆2计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉【对点训练】2如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为()A18B30C33D40解析:选C由三视图知该几何体由圆锥和半球组成球半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母线长等于5,所以该几何体的表面积S2323533.题型三、球的截面问题【例3】已知球的两平行截面的面积为5和8,它们位于球心的同一侧,且相
4、距为1,求这个球的表面积解如图所示,设以r1为半径的截面面积为5,以r2为半径的截面面积为8,O1O21,球的半径为R,OO2x,那么可得下列关系式:rR2x2且r(R2x2)8,rR2(x1)2且rR2(x1)25,于是(R2x2)R2(x1)285,即R2x2R2x22x13,2x2,即x1.又(R2x2)8,R218,R29,R3.球的表面积为S4R243236.【类题通法】球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2d2r2.【对点训练】3已知过球面
5、上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且ACBC6,AB4,求球的表面积与球的体积解:如图,设球心为O,球半径为R,作OO1垂直平面ABC于O1,由于OAOBOCR,则O1是ABC的外心设M是AB的中点,由于ACBC,则O1在CM上设O1Mx,易知O1MAB,设O1A,O1CCMO1Mx.又O1AO1C,x.解得x.则O1AO1BO1C.在RtOO1A中,O1O,OO1A90,OAR.由勾股定理得()2()2R2.解得R.故S球4R254,V球R327.【练习反馈】1两个球的半径之比为13,那么两个球的表面积之比为()A19B127C13 D11答案:A2棱长为2的正方体的外接球
6、的表面积是()A8 B4C12 D16解析:选C正方体的体对角线长为2,即2R2,R,S4R212.3火星的半径约是地球半径的一半,则地球的体积是火星体积的_倍解析:设火星半径为r,地球半径则为2r,8.答案:84已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3,则球O的表面积等于_解析:由题意得圆M的半径r,又球心到圆M的距离为,由勾股定理得R2r2()2,R2,则球的表面积为16.答案:165(1)已知球的直径为2,求它的表面积和体积(2)已知球的体积为,求它的表面积解:(1)直径为2,半径r1,表面积S球4r24124,体积V球r313.(2)V球r
7、3,r327,r3,S球43236.你曾落过的泪,最终都会变成阳光,照亮脚下的路。 (舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风)我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中,我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁,你翩若惊鸿的身影,和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看,这条路是这样的:它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花,在每个花蕊上,都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星辰对话,和江河湖海晤谈,和每一棵树握手,和每一株草耳鬓厮磨,你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白,为什么不管做了多么明智合理的选择,在结果出来之前,谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的,只是坚
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