高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题.doc

高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选

一．解答题（共20小题，满分120分，每小题6分）
1．（6分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．

2．（6分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．

3．（6分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．
（1）求证：A1D1∥平面AB1D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．

4．（6分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．

5．（6分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（I）证明：直线MN∥平面SBC；
（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．

6．（6分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．
（Ⅰ）若弧BC的中点为D．求证：AC∥平面POD；
（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积．

7．（6分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA⊥平面 ABCD，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 BDF⊥平面 PCF；
（Ⅱ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF．

8．（6分）已知，如图，P是平面ABC外一点，PA不垂直于平面ABC，E，F分别是线段AC，PC的中点，D是线段AB上一点，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求证：BC∥平面DEF．

9．（6分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠DAB=60°，EF∥AC，EF=．
（Ⅰ）求证：FC∥平面BDE；
（Ⅱ）若EA=ED，求证：AD⊥BE．

10．（6分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．
（1）求异面直线AC与B1D所成的角；
（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．

11．（6分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．

12．（6分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．

13．（6分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

14．（6分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且==．求证：
①点E，F，G，H四点共面；
②直线EH，BD，FG相交于一点．

15．（6分）如图长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=2，E、F分别是BB′、A'B'的中点．
（1）求证：E、F、C、D'四点共面；
（2）求异面直线AC、C'E夹角的余弦值．

16．（6分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小．

17．（6分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AA1．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求异面直线A1C与BB1所成角的大小．

18．（6分）（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
AC=BC=1，CD=，
求（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）异面直线AB和CD的大小．

19．（6分）三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，，BC=3．点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的大小；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

20．（6分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．

高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选
参考答案与试题解析

一．解答题（共20小题，满分120分，每小题6分）
1．（6分）（2017•雅安模拟）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；L@：组合几何体的面积、体积问题；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题．
【分析】（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．
【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
所以，OG∥DE，且OG=DE．
因为AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，且OG=AF，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2
所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，
所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=（12分）

【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积，（1）的关键是证明出FG∥OA，（2）的关键是得到AB⊥平面ADEF，即四面体BDEF的高为AB．

2．（6分）（2017•广西一模）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：PC⊥AE；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】31 ：数形结合．
【分析】（1）取PC中点F，利用等腰三角形的性质可得PC⊥AF，先证明CD⊥平面PAC，可得CD⊥PC，从而EF⊥PC，故有PC⊥平面AEF，进而证得PC⊥AE．
（2）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB．
（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC，求得EF 的值，代入V=进行运算．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．取PC中点F，连AF，EF，
∵PA=AC=2，∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．
（2）证明：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2，得EF=．
则V=．

【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，取PC中点F，AD中点M，利用三角形的中位线的性质是解题的关键．

3．（6分）（2017•汉中二模）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．
（1）求证：A1D1∥平面AB1D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；14 ：证明题．
【分析】（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．
【解答】解：（1）证明：连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．
∴B1D1∥BD，且B1D1=BD
∴四边形B1BDD1为平行四边形
∴BB1∥DD1，且BB1=DD1
又因AA1∥BB1，AA1=BB1
所以AA1∥DD1，AA1=DD1
所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D
故A1D1∥平面AB1D；
（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC
所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高
在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2
在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°
所以△B1BC的面积为4
∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=8
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．

4．（6分）（2017•漳州模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE∥平面PAD；
（2）棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，利用三垂线定理可得结论．
【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）
∵E为PC的中点，
∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）
又∵AB∥CD且AB=CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．…（4分）
又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…（5分）
（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，
∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，
∴CF⊥DP，
∴CF⊥PA．

【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理能力．

5．（6分）（2017•乐山一模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（I）证明：直线MN∥平面SBC；
（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）取SB中点E，连接ME、CE，由三角形中位线定理、菱形性质得四边形MECN是平行四边形，由此能证明直线MN∥平面SBC．
（Ⅱ）连接AC、BD，交于点O，由线面垂直得SA⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，由此能证明平面SBD⊥平面SAC．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，
因为M为SA的中点，所以ME∥AB，且ME=，…（2分）
因为N为菱形ABCD边CD的中点，
所以CN∥AB，且CN=，…（3分）
所以ME∥CN，ME=CN，
所以四边形MECN是平行四边形，
所以MN∥EC，…（5分）
又因为EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，
所以直线MN∥平面SBC．…（6分）
（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，交于点O，
因为SA⊥底面ABCD，所以SA⊥BD．…（7分）
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．…（8分）
又SA∩AC=A，所以BD⊥平面SAC．…（10分）
又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAC．…（12分）

【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

6．（6分）（2017•新罗区校级模拟）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．
（Ⅰ）若弧BC的中点为D．求证：AC∥平面POD；
（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）证法1：设BC∩OD=E，由已知可证AC∥OE，线线平行即可证明线面平行AC∥平面POD；证法2：由AB是底面圆的直径，可证AC⊥BC，利用OD⊥BC，可证AC∥OD，即可判定AC∥平面POD．
（Ⅱ）设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，由圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，可求，利用三角形面积公式可求r，进而可求此圆锥的表面积．
【解答】解：（Ⅰ）证法1：设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，
∴AC∥平面POD．
证法2：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC，
∵弧BC的中点为D，∴OD⊥BC，
又AC，OD共面，∴AC∥OD，
又AC⊄平面POD，OD⊂平面POD，
∴AC∥平面POD．
（Ⅱ）解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴，
∵由，得r=3，
∴．

【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了三角形面积公式，考查了圆锥的表面积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．

7．（6分）（2017•青岛一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD是菱形，PA⊥平面 ABCD，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 BDF⊥平面 PCF；
（Ⅱ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于O，证明BD⊥平面PAC，即可证明结论；
（Ⅱ）取PF中点G，连接EG，CG，连接FO．由三角形中位线定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，进一步得到CE∥面BDF．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，则AC⊥BD，
∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面 BDF，
∴平面 BDF⊥平面PAC，即平面 BDF⊥平面 PCF；
（Ⅱ）如图所示，取PF中点G，连接EG，CG，连接FO．
由题可得F为AG中点，O为AC中点，
∴FO∥GC；
又G为PF中点，E为PD中点，
∴GE∥FD．
又GE∩GC=G，GE、GC⊂面GEC，
FO∩FD=F，FO，FD⊂面FOD．
∴面GEC∥面FOD．
∵CE⊂面GEC，
∴CE∥面BDF；

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

8．（6分）（2017•达州模拟）已知，如图，P是平面ABC外一点，PA不垂直于平面ABC，E，F分别是线段AC，PC的中点，D是线段AB上一点，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求证：BC∥平面DEF．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LX：直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有
【专题】14 ：证明题；48 ：分析法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（1）设线段BC的中点为G，分别连接AG、PG．构建线面垂直：BC⊥平面AGP．根据线面垂直的性质证得结论；
（2）利用三角形中位线定理推知EF∥AP．结合已知条件得到PA⊥DE． 因为PA⊥BC，BC、DE是平面ABC内两条直线，如果BC、DE相交，则PA⊥平面ABC，与PA不与平面ABC的垂直矛盾．
故BC∥DE．最后根据线面平行的判定定理得到结论．
【解答】（1）证明：设线段BC的中点为G，分别连接AG、PG．
∵AB=AC，PB=PC，
∴AG⊥BC，PG⊥BC，
∵AG、PG是平面AGP内的两条相交线，
∴BC⊥平面AGP．
∵PA⊂平面AGP，
∴PA⊥BC．
（2）证明：∵E、F分别是线段AC、PC的中点，
∴EF∥AP．
∵DE⊥EF，
∴PA⊥DE．
因为PA⊥BC，BC、DE是平面ABC内两条直线，
如果BC、DE相交，则PA⊥平面ABC，与PA不与平面ABC的垂直矛盾．
∴BC∥DE．
又BC⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴BC∥平面DEF．

【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．

9．（6分）（2017•济南一模）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠DAB=60°，EF∥AC，EF=．
（Ⅰ）求证：FC∥平面BDE；
（Ⅱ）若EA=ED，求证：AD⊥BE．

【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接EO，证明FC∥EO，即可证明：FC∥平面BDE；
（Ⅱ）取AD中点M，连接EM，BM，证明AD⊥平面EMB，即可证明：AD⊥BE．
【解答】证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接EO．
∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴OC=，
∵EF∥AC，
∴EFCO为平行四边形，
∴FC∥EO，
∵FC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，
∴FC∥平面BDE；
（Ⅱ）取AD中点M，连接EM，BM，
∵EA=ED，∴EM⊥AD．
∵AB=AD=BD，∴BM⊥AD，
∵EM∩BM=M，
∴AD⊥平面EMB，
∵BE⊂平面EMB，
∴AD⊥EB．

【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

10．（6分）（2017•上海模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．
（1）求异面直线AC与B1D所成的角；
（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；
（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到体积．
【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
（1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），
∴，
∴，
∴异面直线AC与B1D所成的角为．
（2）设E（0，0，a），则，
∵B1D⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴B1D⊥AE．
∴，∴﹣1+2a=0，．
∴VA﹣CDE=VE﹣ADC==．

【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．

11．（6分）（2017•南京二模）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LT：直线与平面平行的性质．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．
【解答】解：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
所以A1A⊥平面ABCD．
又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．
在菱形ABCD中∠ABC=，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC中点，所以BC⊥AE．
因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（，1，0），D（0，2，0），
A1（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．
（1）=（0，2，0），=（﹣，，1），
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为=． …（4分）
（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A1D上，且 =λ，
则（x，y，z﹣2）=λ（0，2，﹣2）．
则M（0，2λ，2﹣2λ），=（﹣，2λ﹣1，2﹣2λ）． …（6分）
设平面AEF的法向量为=（x0，y0，z0）．
因为 =（，0，0），=（，，1），
由，得x0=0，y0+z0=0．
取y0=2，则z0=﹣1，
则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，﹣1）． …（8分）
由于CM∥平面AEF，则=0，即2（2λ﹣1）﹣（2﹣2λ）=0，解得λ=．…（10分）

【点评】本题考查线面角，考查线面平行的运用，考查向量知识的运用，属于中档题．

12．（6分）（2017•南京一模）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
【专题】5F ：空间位置关系与距离．
【分析】（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．
（2）由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．
【解答】证明：（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．
因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，
所以DO⊥面ABC．
又AE⊥面ABC，则AE∥DO．
又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．
（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．
又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．
因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．
又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．

【点评】本题第（1）问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第（2）问通过线面垂直证线线垂直问题．

13．（6分）（2017•湖南三模）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；14 ：证明题．
【分析】（I）要证线与面垂直，只要证明线与面上的两条相交线垂直，找面上的两条线，根据四边形是一个菱形，从菱形出发找到一条，再从PA⊥平面ABCD，得到结论．
（II）要求三棱锥的体积，首先根据所给的体积确定用哪一个面做底面，会使得计算简单一些，选择三角形AMC，做出底面面积，利用体积公式得到结果．
（III）对于这种是否存在的问题，首先要观察出结论，再进行证明，根据线面平行的判定定理，利用中位线确定线与线平行，得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M为BC中点，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
（II）∵
又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1
∴三棱锥N﹣AMC的体积S△AMC•AN
=
（III）存在点E，
取PD中点E，连接NE，EC，AE，
∵N，E分别为PA，PD中点，
∴
又在菱形ABCD中，
∴，即MCEN是平行四边形
∴NM∥EC，
又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，
此时．

【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是一个非常适合作为高考题目出现的问题，题目包含的知识点比较全面，重点突出，是一个好题．

14．（6分）（2017春•龙海市校级月考）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且==．求证：
①点E，F，G，H四点共面；
②直线EH，BD，FG相交于一点．

【考点】LJ：平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；49 ：综合法；5F ：空间位置关系与距离．
【分析】①利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，
得到EF、GH都平行于AC，由平行线的传递性得到EF∥GH，
根据两平行线确定一平面得出证明；
（2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
【解答】证明：①如图所示，

空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC；
又==，
∴EF∥AC，
∴EF∥HG，
E、F、G、H四点共面；
②设EH与FG交于点P，
∵EH⊂平面ABD
∴P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，
且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
【点评】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．

15．（6分）（2017春•东湖区校级月考）如图长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=2，E、F分别是BB′、A'B'的中点．
（1）求证：E、F、C、D'四点共面；
（2）求异面直线AC、C'E夹角的余弦值．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LJ：平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）证明：EF∥D'C，即可证明E、F、C、D'四点共面；
（2）连接A'C'，则∠A'C'E为异面直线AC、C'E夹角，即可求异面直线AC、C'E夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，连接A'B，D'C，则EF∥A'B∥D'C，
∴E、F、C、D'四点共面；
（2）解：连接A'C'，则∠A'C'E为异面直线AC、C'E夹角，
∵AB=BC=1，AA'=2，
∴A'E=C'E=A'C'=
∴异面直线AC、C'E夹角的余弦值为．

【点评】本题考查平面的基本性质，考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（6分）（2017春•桥西区校级月考）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行的判定．菁优网版权所有
【专题】14 ：证明题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，推导出BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．
（2）法一（几何法）：
由（1）得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所在角，由此能求出异面直线BC1和A1D所成角的大小．
法二（向量法）：
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出异面直线BC1与A1D所成角．
【解答】证明：（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF．
由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，
∴BC1∥DF，
∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
解：（2）解法一（几何法）：
由（1）得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所在角，
设AB=2，则，
，．
在△A1DF中，由余弦定理得：
，且∠A1DF∈（0，π），
∴，
∴异面直线BC1和A1D所成角的大小为．
解法二（向量法）：∵，
令AA1=AC=CB=2，，∴AC⊥BC．
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，
建立空间直角坐标系C﹣xyz．
则D（1，1，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），
，．
设异面直线BC1与A1D所成角为θ，
则，
∴，
∴异面直线BC1与A1D所成角为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

17．（6分）（2017春•云岩区校级月考）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AA1．
（1）求证：AB⊥A1C；
（2）求异面直线A1C与BB1所成角的大小．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．菁优网版权所有
【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）通过直线与平面垂直，证明直线鱼嘴鞋垂直即AB⊥A1C；
（2）异面直线A1C与BB1所成角的大小．求出三角形的三个边长，然后求解异面直线所成角即可．
【解答】解：（1）证明：侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
可得AB⊥AA1，又∵AB⊥AC，AC∩AA1=A，可得AB⊥平面AA1C1C，
且A1C⊂平面AA1C1C，
∴AB⊥A1C；
（2）解：因为几何体是棱柱，BB1∥AA1，则直线A1C与AA1所成的角为就是异面直线A1C与BB1所成的角．
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．AC=AA1，
三角形CAA1是等腰直角三角形，异面直线所成角为45°．
异面直线A1C与BB1所成角的大小为45°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及考查计算能力．

18．（6分）（2017春•西区校级月考）（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
AC=BC=1，CD=，
求（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）异面直线AB和CD的大小．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．
【分析】（1）因为A在平面BCD内的射影是直角三角形BC