高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题.doc
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1、高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题精选一解答题(共20小题,满分120分,每小题6分)1(6分)如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,ADE=90,AFDE,DE=DA=2AF=2(1)求证:AC平面BEF;(2)求四面体BDEF的体积2(6分)在四棱锥PABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2(1)求证:PCAE;(2)求证:CE平面PAB;(3)求三棱锥PACE的体积V3(6分)如图,在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中,D、D1分别是BC和B1C1的中点(1)求证:A1D1
2、平面AB1D;(2)若平面ABC平面BCC1B1,B1BC=60,求三棱锥B1ABC的体积4(6分)如图所示,四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABAD,CDAD,CD=2AB点E是PC的中点()求证:BE平面PAD;()已知平面PCD底面ABCD,且PC=DC在棱PD上是否存在点F,使CFPA?请说明理由5(6分)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是菱形,SA平面ABCD,M,N分别为SA,CD的中点(I)证明:直线MN平面SBC; ()证明:平面SBD平面SAC6(6分)如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点()若弧BC的中点为D求证:AC
3、平面POD;()如果PAB面积是9,求此圆锥的表面积7(6分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD是菱形,PA平面 ABCD,PA=3,F 是棱 PA 上的一个动点,E 为 PD 的中点()求证:平面 BDF平面 PCF;()若 AF=1,求证:CE平面 BDF8(6分)已知,如图,P是平面ABC外一点,PA不垂直于平面ABC,E,F分别是线段AC,PC的中点,D是线段AB上一点,AB=AC,PB=PC,DEEF(1)求证:PABC;(2)求证:BC平面DEF9(6分)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是菱形,AB=2,DAB=60,EFAC,EF=()求证:FC平面BDE;
4、()若EA=ED,求证:ADBE10(6分)长方体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=2,AB=1,E是DD1上的一点(1)求异面直线AC与B1D所成的角;(2)若B1D平面ACE,求三棱锥ACDE的体积11(6分)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,=若CM平面AEF,求实数的值12(6分)如图,六面体ABCDE中,面DBC面ABC,AE面ABC(1)求证:AE面DBC;(2)若ABBC,BDCD,求证:ADDC
5、13(6分)如图:在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,ABC=60,PA平面ABCD,点M,N分别为BC,PA的中点,且PA=AB=2()证明:BC平面AMN;()求三棱锥NAMC的体积;()在线段PD上是否存在一点E,使得NM平面ACE;若存在,求出PE的长;若不存在,说明理由14(6分)在空间四边形ABCD中,H,G分别是AD,CD的中点,E,F分别边AB,BC上的点,且=求证:点E,F,G,H四点共面;直线EH,BD,FG相交于一点15(6分)如图长方体ABCDABCD中,AB=BC=1,AA=2,E、F分别是BB、AB的中点(1)求证:E、F、C、D四点共面; (2)求异面直线A
6、C、CE夹角的余弦值16(6分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=AB(1)证明:BC1平面A1CD;(2)求异面直线BC1和A1D所成角的大小17(6分)如图,侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,且AC=AA1(1)求证:ABA1C;(2)求异面直线A1C与BB1所成角的大小18(6分)(文科)设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O,AC=BC=1,CD=,求(1)AC与平面BCD所成角的大小;(2)异面直线AB和CD的大小19(6分)三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC
7、=4,BC=3点E是CD边的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB(1)证明:BC平面PDA;(2)求二面角PADC的大小;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值20(6分)如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形(1)求证:MN平面PAD(2)若PA=AD=2a,MN与PA所成的角为30求MN的长高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题精选参考答案与试题解析一解答题(共20小题,满分120分,每小题6分)1(6分)(2017雅安模拟)如图所示,正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,ADE=90
8、,AFDE,DE=DA=2AF=2(1)求证:AC平面BEF;(2)求四面体BDEF的体积【考点】LS:直线与平面平行的判定;L:组合几何体的面积、体积问题;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】15 :综合题【分析】(1)设正方形ABCD的中心为O,取BE中点G,连接FG,OG,由中位线定理,我们易得四边形AFGO是平行四边形,即FGOA,由直线与平面平行的判定定理即可得到AC平面BEF;(2)由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直,ADE=90,我们可以得到AB平面ADEF,结合DE=DA=2AF=2分别计算棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式即可求出四面体B
9、DEF的体积【解答】证明:(1)设ACBD=O,取BE中点G,连接FG,OG,所以,OGDE,且OG=DE因为AFDE,DE=2AF,所以AFOG,且OG=AF,从而四边形AFGO是平行四边形,FGOA因为FG平面BEF,AO平面BEF,所以AO平面BEF,即AC平面BEF(6分)解:(2)因为平面ABCD平面ADEF,ABAD,所以AB平面ADEF因为AFDE,ADE=90,DE=DA=2AF=2所以DEF的面积为SDEF=EDAD=2,所以四面体BDEF的体积V=SDEFAB=(12分)【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积,(1)的关键是证明出FGOA,(2)的关键是
10、得到AB平面ADEF,即四面体BDEF的高为AB2(6分)(2017广西一模)在四棱锥PABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2(1)求证:PCAE;(2)求证:CE平面PAB;(3)求三棱锥PACE的体积V【考点】LS:直线与平面平行的判定;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】31 :数形结合【分析】(1)取PC中点F,利用等腰三角形的性质可得PCAF,先证明CD平面PAC,可得CDPC,从而EFPC,故有PC平面AEF,进而证得PCAE(2)取AD中点M,利用三角形的中位线证明EM平面PAB,利用同位角相等证明
11、MCAB,得到平面EMC平面PAB,证得EC平面PAB(3)由(1)知AC=2,EF=CD,且EF平面PAC,求得EF 的值,代入V=进行运算【解答】解:(1)在RtABC中,AB=1,BAC=60,BC=,AC=2取PC中点F,连AF,EF,PA=AC=2,PCAFPA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD,又ACD=90,即CDAC,CD平面PAC,CDPC,EFPC,PC平面AEF,PCAE(2)证明:取AD中点M,连EM,CM则EMPAEM平面PAB,PA平面PAB,EM平面PAB在RtACD中,CAD=60,AC=AM=2,ACM=60而BAC=60,MCABMC平面PAB,AB平
12、面PAB,MC平面PABEMMC=M,平面EMC平面PABEC平面EMC,EC平面PAB(3)由(1)知AC=2,EF=CD,且EF平面PAC在RtACD中,AC=2,CAD=60,CD=2,得EF=则V=【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法,取PC中点F,AD中点M,利用三角形的中位线的性质是解题的关键3(6分)(2017汉中二模)如图,在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中,D、D1分别是BC和B1C1的中点(1)求证:A1D1平面AB1D;(2)若平面ABC平面BCC1B1,B1BC=60,求三棱锥B1ABC的体积【考点】LS:直线与平面平行的判定;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积
13、菁优网版权所有【专题】11 :计算题;14 :证明题【分析】(1)欲证A1D1平面AB1D,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行,连接DD1,根据中位线定理可知B1D1BD,且B1D1=BD,则四边形B1BDD1为平行四边形,同理可证四边形AA1D1D为平行四边形,则A1D1AD又A1D1平面AB1D,AD平面AB1D,满足定理所需条件;(2)根据面面垂直的性质定理可知AD平面B1C1CB,即AD是三棱锥AB1BC的高,求出三棱锥AB1BC的体积,从而求出三棱锥B1ABC的体积【解答】解:(1)证明:连接DD1,在三棱柱ABCA1B1C1中,D、D1分别是B
14、C和B1C1的中点B1D1BD,且B1D1=BD四边形B1BDD1为平行四边形BB1DD1,且BB1=DD1又因AA1BB1,AA1=BB1所以AA1DD1,AA1=DD1所以四边形AA1D1D为平行四边形,所以A1D1AD又A1D1平面AB1D,AD平面AB1D故A1D1平面AB1D;(2)在ABC中,棱长均为4,则AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC因为平面ABC平面B1C1CB,交线为BC,AD平面ABC所以AD平面B1C1CB,即AD是三棱锥AB1BC的高在ABC中,AB=AC=BC=4得AD=2在B1BC中,B1B=BC=4,B1BC=60所以B1BC的面积为4三棱锥B1ABC的
15、体积即为三棱锥AB1BC的体积V=8【点评】本题主要考查了线面平行的判定,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了推理论证的能力、计算能力,转化与划归的思想,属于中档题4(6分)(2017漳州模拟)如图所示,四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABAD,CDAD,CD=2AB点E是PC的中点()求证:BE平面PAD;()已知平面PCD底面ABCD,且PC=DC在棱PD上是否存在点F,使CFPA?请说明理由【考点】LS:直线与平面平行的判定;LY:平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】15 :综合题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可
16、证明:BE平面PAD;(2)棱PD上存在点F为PD的中点,使CFPA,利用三垂线定理可得结论【解答】(1)证明:取PD中点Q,连结AQ、EQ(1分)E为PC的中点,EQCD且EQ=CD(2分)又ABCD且AB=CD,EQAB且EQ=AB(3分)四边形ABED是平行四边形,BEAQ(4分)又BE平面PAD,AQ平面PAD,BE平面PAD(5分)(2)解:棱PD上存在点F为PD的中点,使CFPA,平面PCD底面ABCD,平面PCD底面ABCD=CD,ADCD,AD平面PCD,DP是PA在平面PCD中的射影,PC=DC,PF=DF,CFDP,CFPA【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断
17、,要求熟练掌握相应的判定定理考查学生的推理能力5(6分)(2017乐山一模)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是菱形,SA平面ABCD,M,N分别为SA,CD的中点(I)证明:直线MN平面SBC; ()证明:平面SBD平面SAC【考点】LS:直线与平面平行的判定;LW:直线与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】5F :空间位置关系与距离【分析】()取SB中点E,连接ME、CE,由三角形中位线定理、菱形性质得四边形MECN是平行四边形,由此能证明直线MN平面SBC()连接AC、BD,交于点O,由线面垂直得SABD,由菱形性质得ACBD,由此能证明平面SBD平面SAC【解答】()证明:如图,
18、取SB中点E,连接ME、CE,因为M为SA的中点,所以MEAB,且ME=,(2分)因为N为菱形ABCD边CD的中点,所以CNAB,且CN=,(3分)所以MECN,ME=CN,所以四边形MECN是平行四边形,所以MNEC,(5分)又因为EC平面SBC,MN平面SBC,所以直线MN平面SBC(6分)()证明:如图,连接AC、BD,交于点O,因为SA底面ABCD,所以SABD(7分)因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD(8分)又SAAC=A,所以BD平面SAC(10分)又BD平面SBD,所以平面SBD平面SAC(12分)【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题
19、,注意空间思维能力的培养6(6分)(2017新罗区校级模拟)如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点()若弧BC的中点为D求证:AC平面POD;()如果PAB面积是9,求此圆锥的表面积【考点】LS:直线与平面平行的判定;LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有【专题】15 :综合题;35 :转化思想;44 :数形结合法;5F :空间位置关系与距离【分析】()证法1:设BCOD=E,由已知可证ACOE,线线平行即可证明线面平行AC平面POD;证法2:由AB是底面圆的直径,可证ACBC,利用ODBC,可证ACOD,即可判定AC平面POD()设圆
20、锥底面半径为r,高为h,母线长为l,由圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,可求,利用三角形面积公式可求r,进而可求此圆锥的表面积【解答】解:()证法1:设BCOD=E,D是弧BC的中点,E是BC的中点,又O是AB的中点,ACOE,又AC平面POD,OE平面POD,AC平面POD证法2:AB是底面圆的直径,ACBC,弧BC的中点为D,ODBC,又AC,OD共面,ACOD,又AC平面POD,OD平面POD,AC平面POD()解:设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,由,得r=3,【点评】本题主要考查了线面平行的判定,考查了三角形面积公式,考查了圆锥的表面积的求
21、法,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题7(6分)(2017青岛一模)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD是菱形,PA平面 ABCD,PA=3,F 是棱 PA 上的一个动点,E 为 PD 的中点()求证:平面 BDF平面 PCF;()若 AF=1,求证:CE平面 BDF【考点】LS:直线与平面平行的判定;LY:平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】14 :证明题;35 :转化思想;4G :演绎法;5F :空间位置关系与距离【分析】()连接AC交BD于O,证明BD平面PAC,即可证明结论;()取PF中点G,连接EG,CG,连接FO由三角形中位线定理可得FOGC,GEFD然后
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