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成人高考专升本高数试题

资料仅供参考

(满分150分。考试时间l20分钟。)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．
（1）的展开式中的系数为
（A）4 （B）6 （C）10 （D）20
（2）在等差数列中，，则的值为
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
（3）若向量，，，则实数的值为
（A） （B） （C）2 （D）6
（4）函数的值域是
（A） （B） （C） （D）
（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为
（A）7 （B）15 （C）25 （D）35
（6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）设变量满足约束条件则的最大值为
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
（8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有1个 （B）恰有3个 （C）恰有4个 （D）有无穷多个
（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有
（A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）设，则=____________ .
（12）已知，则函数的最小值为____________ .
（13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则
_ _ .
（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .
（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所正确圆心角为，则____________ .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.
（Ⅰ）求通项及；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前
项和.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .
(Ⅰ) 求sinA的值；
(Ⅱ)求的值.

(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表示式;
(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值.

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线： 与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值.

参考答案

1-10 BADCB ACDDC
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）解析：
（12）解析：，当且仅当时，
（13）解析：由抛物线的定义可知
故2
（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得
加工出来的零件的次品率
（15）解析：
又，因此
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）解：（I）因为是首项为公差的等差数列，
因此

（II）由题意因此

（17）
解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有种等可能的结果。

（I）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”
则A包含的结果有种，
故所求概率为
（II）设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”
则表示甲、乙两单位序号相邻，包含的结果有种。
从而
（18）解：（I）由余弦定理得
又
（II）原式

（19）
解：（Ⅰ）由题意得
因此是奇函数，因此有

从而

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上是减函数；当从而在区间上是增函数。
由前面讨论知，而因此
，最小值为
（20）（I）证明：如答（20）图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，由PA=AB知
为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB
由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，
由垂线定理得BC⊥PB，从而PC⊥平面PAB，
因AE⊥BP，AE⊥BC，因此AE⊥平面PBC。
（II）解：由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，
得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE。
在中，PA=AB=，

从而在，
因此为等边三角形，
取CE的中点F，连接DF，则
因BE=BC=1，且BC⊥BE，则为等腰直角三角形，连接BF，则BF⊥CE，
因此为所求的二面角的平面角。
连接BD，在中，

因此
故二面角B—EC—D的平面角的余弦值为
解法二：
（I）如答（20）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz.
设D（0，a，0），则
.
于是

则，因此AE⊥平面PBC.
（II）解：设平面BEC的法向量为n，由（I）知，AE⊥平面BEC，
故可取
设平面DEC的法向量，则，

由 =1，得
从而
故
因此
可取
从而
因此二面角B—EC—D的平面角的余弦值为
（21）（本题12分）
解：（I）设C的标准方程是，
则由题意
因此
C的标准方程为
C的渐近线方程为
（II）解法一：如图（21）图，由题意点在直线和
上，因此有
故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为

设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点，
由方程组
解得
故

因为点E在双曲线
因此
解法二：设，由方程组得

解得
故直线MN的方程为
注意到因此直线MN的方程为，
下同解法一.