高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版.doc

高中数学函数知识点总结
一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：
l 分式中的分母不为零；
l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
l 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
l 正切函数
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
三、. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。
复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。
例 若函数的定义域为，则的定义域为 。
四、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=值域。

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=，，的值域。

6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=（2≤x≤10）的值域

7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+的值域。

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

例求函数y=+的值域。

例求函数y=+ 的值域

9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：

10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数y=的值域

多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x) 都是正数
增
增
增
增
增
增
减
减
/
/
减
增
减
/
/
减
减
增
减
减

六、.如何利用导数判断函数的单调性？

值是（ ）

七、 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

八.判断函数奇偶性的方法
1、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
2、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

3、 复合函数奇偶性

f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x)
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶

九、. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如：

十. 你掌握常用的图象变换了吗？
联想点（x,y）,(-x,y)
联想点（x,y）,(x,-y)
联想点（x,y）,(-x,-y)
联想点（x,y）,(y,x)
联想点（x,y）,(2a-x,y)
联想点（x,y）,(2a-x,0)

注意如下“翻折”变换：

十一、 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

的双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

15. 你在基本运算上常出现错误吗？

16. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2. 幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝
3. 指数函数型的抽象函数
f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4. 对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）
5. 三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；
（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；
② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：
（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；
（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求证：f（x）为偶函数；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）
（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
（2） 令y＝ －1；
（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：
（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈R上是减函数.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3） 受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，
进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）
（C）f（）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝，则f（x）为（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

函数典型考题
1.若函数为偶函数，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
2．已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足
的的集合．
．
3.若f(x)是偶函数，它在上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（ ）
A. (，1) B. (0，)(1，) C. (，10) D. (0，1)(10，)
4.若a、b是任意实数，且a>b,则 （ ）
A. a2>b2 B. <1 C. >0 D.<
5.设a,b,c都是正数，且，则下列正确的是　 （ ）
(A) (B) (C) (D)
6．对于函数（）．
（Ⅰ）当时，求函数的零点；
（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围．

6. 二次函数中，，则函数的零点个数是（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定
8．若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是（ ）
A． 和 B． 和 C．和 D．和
9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（ ）
A 4　　　 　B 3 C 2 D 1
10.已知函数f(x2-3)=lg,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[]=lgx,求的值。

11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）
（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3 （D）y=

小草急急忙忙的返青依旧；细雨迷迷濛濛的飘洒依旧。
　　盈盈月下来，照亮你的山歌依旧；灿灿星升起，白杨树绿影婆娑依旧。
　　好风似水，不惊你安眠依旧；鸟儿呢哝，爱的春天依旧。

　　可我，望尽了我的花季，望尽了长长的一路落英缤纷呵！岑凯伦的绵绵春雨依旧，戴望舒的深深雨巷依旧！
　　漂泊的船，寻找一个温馨港口；孤寂的心，渴望一声温暖问候。
　　是你在我最落寞的时候，把亲切放在我左右；是你在我最失意的时候，把慰藉放在我心头。
　　红酥手，黄藤酒；春如旧，人空瘦。蝴蝶双飞影孤单，泪痕红浥鲛绡透！
　　那一叶小舟，那一双眼眸，望穿了几层山水几层楼？那一缕相思，那一缕离愁，孤独了多少暮风晨雨后？
　　春风依旧，桃花依旧；春水依旧，明月依旧；渡口依旧，时光依旧。前世的情缘，今生的守候，多少次梦里相逢，追忆难收，点点相思堆成无言的愁。
　　红尘多少爱，化作春水流。时光悠悠，岁月悠悠；韶华易逝 真情难留。
　　忘情川上谁因离恨泪流？三生石前谁为痴情消廋？
　　纵然我望断天涯孤独依旧，在桃花飘落的渡口，我依然会为你采撷相思的红豆；在海鸥飞翔的码头，我依然会为你升起祝福的星斗。
　　你若微笑，我青山妩媚；你若安好，我绿水无忧！
　　你若想我，我春风盈袖；你若念我，我春住心头！