2016年高考理科数学试题及答案-全国卷1.doc

2016年普通高等学校招生全统一考试（全国1卷）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设集合，，则
（A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）
（2） 设，其中,是实数，则
（A）1 （B） （C） （D）2
（3） 已知等差数列前9项的和为27，，则
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
（4） 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A） （B） （C） （D）
（5） 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 （A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）
（6） 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
（7） 函数在的图象大致为

（A） （B） （C） （D）
是
否

输入
输出
开始

结束

（8） 若，，则
（A） （B）
（C） （D）
（9） 执行右图的程序框图，如果输入的,,，则输出的值满足
（A） （B） （C） （D）
（10） 以抛物线的顶点为圆心的圆交于,两点，交的准线于,两点．已知，，则的焦点到准线的距离为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（11） 平面过正方体的顶点，∥平面，∩平面，∩平面，则所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
（12） 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13） 设向量，，且，则 ．
（14） 的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）
（15） 设等比数列满足，，则的最大值为 ．
（16） 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12分）
的内角的对边分别为，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为.求的周长.

（18） （本小题满分12分）
如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是60°.
（Ⅰ）证明：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（19） （本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

（20） （本小题满分12分）
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.

（21） （本小题满分12分）
已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明：.

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是等腰三角形，.以为圆心，为半径作圆.
（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；
（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：.

（23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.

（24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；
（Ⅱ）求不等式的解集.

2016年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析
一、选择题
【答案】
（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B
（11）A （12）B
【解析】
（1） ，，∴ ．
（2） ∵即∴，解得：，∴．
（3） ∵∴，∵∴，∴．
（4） 如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，
根据几何概型，所求概率．
（5） 表示双曲线，则，∴，
∵
解得，∴．
（6） 原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的1/8后的三视图，表面积是7/8的球面面积和三个扇形面积之和，
∴
（7） ，排除A； ，排除B；
时， ，，当时，∴在单调递减，排除C；
故选D
（8） 对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；
对B： 由于，∴函数在上单调递减，
∴，B错误
对C： 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和
构造函数，则，在上单调递增，因此
又由得，∴，C正确
对D： 要比较和，只需比较和
而函数在上单调递增，故
又由得，∴，D错误
故选C．
【2°用特殊值法，令得，排除A；，排除B；，C正确；，排除D；∴选C】
循环节运行次数

判断

是否输出

运行前
0
1
/
/
1
第一次

否
否

第二次

否
否

第三次

是
是

（9） 如下表：

输出，，满足，故选C．
（10） 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：
F

设，，
点在抛物线上，∴……①
点在圆上，∴……②
点在圆上，∴……③
联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．
2°【如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4】
（11） 如图所示：
∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故
同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．

（12） 由题意知：
则，其中
在单调，
接下来用排除法
若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；
若，此时，满足在单调递减

二、填空题
【答案】
（13）-2 （14）10 （15）64 （16）216 000
【解析】
（13） 由已知得,∴，解得．
2°得，∴，解得．
（14） 的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是．
（15） 设等比数列的公比为，∴，解得，故，∴∴当时，取得最大值．
（16） 设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为

目标函数
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为

在处取得最大值，
三、解答题
（17） 解：
（I） 由已知及正弦定理的，
，
即，
故，
可得，∴．
（II） 由已知，，
又，∴，
由已知及余弦定理得，，
故，从而，
∴的周长为
（18）解：
（I） 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，∴AF⊥平面EFDC．
又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．
（II） 过D作DG⊥EF，垂足为G，由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF，
以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz．
由(Ⅰ)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE=60°，
则DF=2，DG=3，可得A(1,4,0)，B(-3,4,0)，E(-3,0,0)，D(0,0,3)，
由已知，AB∥EF，∴AB∥平面EFDC，
又平面ABCD ⋂平面EFDC=CD，故AB∥CD，CD∥EF，
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，∴∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF=60°，从而可得C(-2,0,3),
∴EC=1,0,3，EB=0,4,0，AC=-3,-4,3，AB=(-4,0,0)，
设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则n⋅EC=0，n⋅EB=0，即x+3z=04y=0 ,∴可取n=(3,0,-3)，
设m是平面ABCD的法向量，则m⋅AC=0，m⋅AB=0，同理可取m=(0,3,4)，
则cosn，m=n⋅mn⋅m=-21919，故二面角E-BC-A的余弦值为-21919 .
（19）解：
（I） 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而
P(X=16)=0.2×0.2=0.04，
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16，
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24，
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24，
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2，
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08，
P(X=22)= 0.2×0.2=0.04，
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
所以X的分布列为

（II） 由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故n的最小值为19．
（III） 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），
当n=19时，EY=19×200×0.68+(19×200+500) ×0.2+(19×200+2×500) ×0.08+(19×200+3×500) ×0.04=4040．
当n=20时，EY=20×200×0.88+(20×200+500) ×0.08+(20×200+2×500) ×0.04=4080．
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19．
（20）解：
（I） ∵AD=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC．
∴EB=ED，故EA+EB=EA+ED．
又圆A的标准方程为,从而AD=4，∴EA+EB=4．
由题设得A(-1,0)，B(1,0)，AB=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：．
（II） 当l与x轴不垂直时，设l的方程为，，．
由，得．
则，；∴．
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：，A到m的距离为，
∴．
故四边形MPNQ的面积．
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为．
当l与x轴垂直时，其方程为，四边形MPNQ的面积为12．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为
（21）解：
（I） ．
（i） 设，则，只有一个零点．
（ii） 设，则当时，；当时，．
∴在单调递减，在单调递增．
又，取b满足且，则，
故存在两个零点．
（iii） 设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，，∴不存在两个零点；
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，∴不存在两点零点．
综上，的取值范围为．
（II） 不妨设，由(Ⅰ)知，，，，在单调递减，∴，即．
∵，而，
∴．
设，则．
∴当时，，而，故当时．
从而，故．
（22）解：
（I） 设E是AB的中点，连结OE．
∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OE⊥AB，∠AOE=60°．
在Rt△AOE中，OE =12AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，∴AB与⊙O相切．
（II） ∵OA=2OD，∴O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心．设是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO′．
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，∴OO′⊥AB．
同理可证，OO′⊥CD．∴AB∥CD．
（23）解：
（I） 消去参数得到的普通方程．是以（0,1）为圆心，a为半径的圆．
将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为．
（II） 曲线的公共点的极坐标满足方程组，
若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），．
时，极点也为的公共点，在上．
∴．
（24）解：
（I） ，的图像如图所示．
（II） 由得表达式及图像，当时，可得或；
当时，可得或；
故的解集为；的解集为．
∴的解集为．
理科数学试卷 A型 第19页（共5页）