高等数学三行列式.pptx

x2+y2=1 x+y+z=2.yxz0例例5:柱面 x 2+y 2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是2.空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例例6:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acos y=asin z=b 当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.3.空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组(4)消去z后得方程 H(x,y)=0 (5)方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,曲线 C 一定在柱面上.xyzooC空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线必定包含于:投影H(x,y)=0z=0注注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例例7:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去 z,得两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为椭圆柱面设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解解:半球面与锥面的交线为由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 1例例8:圆柱面)(研究方法是采用平面截痕法.6 6 二次二次曲面的标准曲面的标准方程方程1.定义定义 由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j 为常数且a,b,不全为零.c,d,e,fzoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.2.几种常见二次曲面几种常见二次曲面.(1)椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆3 类似地,依次用平面x=0,平面 y=0截割,得椭圆:特别特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.(2)椭圆抛物面:1 平面 z=k,(k 0)截割,截线是平面 z=k上的椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2 用平面 y=k去截割,截线是抛物线3 类似地，用平面 x=k 去截割,截线是抛物线.一、二阶行列式的概念一、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)(1)副对角线主对角线1.定义定义1a12a21a22()()1 n 1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义当 a11 a22a12 a21 0时，得唯一解对于a11 x1+a12 x2=b1a21 x1+a22 x2=b2(1)(1)2、二元一次 方程组的求解公式记方程组(1)的解可以表示为：克莱姆(Gramer)法则(2)(2)a11 x1+a12 x2=b1a21 x1+a22 x2=b2引进记号：(+)(+)(+)()()()称为对应于数表(3)的三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式1.定义定义2设有数表(3)(3)主对角线副对角线例例 如：如：易证：易证：对于线性方程组(4)当方程组有唯一解，记则方程组(4)的解为：克莱姆法则三、排列与逆序数三、排列与逆序数 由自然数1,2,n 组成的一个有序数组i1,i2,in称为一个n级排列。例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!6个，它们是n级排列的总数为n!个。定义定义33 2 1;1 2 3;1 3 2;2 1 3;2 3 1;3 1 2;一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面(is it)时，称这一对数 is it 构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1,i2,in)，简记为。1 3 2(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,例如：例如：2 1 33 1 2(3)逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列(4)将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。6 5 3 1 2 46 2 3 1 5 4(=11)(=8)1 2 3 41 4 3 2例如：例如：(=0)(=3)定理定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性每一个对换改变排列的奇偶性结论：在结论：在 n(2)级排列中，奇偶排列各有个。级排列中，奇偶排列各有个。四、四、n阶行列式的定义阶行列式的定义分析：分析：=0=2=2=3=1=1类似地：类似地：n阶行列式定义定义4例例1 计算下列n阶行列式00000行排列列排列2 1 3(=1)1 3 2(=1)(=0)1 2 3(=2)3 1 2考察：定理定理2 n阶行列式的定义也可写成推论：例例2：选择 i 和 k，使成为5阶行列式中一个带负号的项解:其列标所构成的排列为：i 5 2 k 3若取 i=1，k 4，故 i=4，k=1 时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即则 (1 5 2 4 3)=4，是偶排列，该项则带正号，对换1，4的位置，则 4 5 2 1 3是奇排列。一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：D=DT行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。2 2 行列式的性质行列式的性质则证：证：显然有 bij=aji (i,j=1,2,;n)则设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号则 D=M证：证：在 M 中第 p 行元素第 q 行元素=D推论推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。证明证明:交换行列式这两行，有D=D，故D=0性质性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：证明：证明：推论推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。性质性质4 若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。即:证明：证明：+性质性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。即：用 ri 表示 D 的第 i 行cj 表示 D 的第 j 列ri rj表示交换 i、j 两行ri k 表示第 i 行乘以 kri+k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行ri k 表示第 i 行提出公因子 k记号：记号：例例1 计算行列式解：解：例例2 计算行列式解：Dc1 c2r2 r1r4 5r1r2 r3r3 +4 r2r4 8 r2例例3 3：计算解解：x+x x+xx+x在n阶行列式余下的元素按原来顺序构成的一个n1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记作 Mij，中，划去元素 aij 所在的行和列，(1)i+j 称为 aij 的代数余子式，记作余子式带上符号33行列式按行行列式按行(列列)的展开的展开 与克莱姆法则与克莱姆法则1.定义定义1一一.拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理例如：例如：在四阶行列式中，a23 的余子式 M23和代数余子式 A23，分别为：考察三阶行列式其中：A11,A12，A13 分别为a11,a12,a13 的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。考察三阶行列式其中：A11,A12，A13 分别为a11,a12,a13 的代数余子式.三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。再考察二阶行列式二阶行列式也可由其子式的组合表示.例例3.3.计算三阶行列式解解：D=还可看出+0=8412=72=D,+36=24+60=72=D,+84=1224=72=D.以及定理定理1 (Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。或即：证明步骤：证明步骤：证 证解：r2 r1r4+5 r1按 c2 展开r1+4 r2r3 8 r2例例4 用Laplace展开定理求例22按 c1 展开例例5 证明四阶范德蒙行列式证：证：D4r4x1r3r3x1r2r2x1r1按c1展开r3x2r2r2x2r1按c1展开推论：推论：n阶范德蒙(Vandermonde)行列式定理定理2 行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。或即：综合定理1和定理2，得：或定理定理3 (克莱姆法则克莱姆法则)(1)(1)的系数行列式设线性方程组二二.克莱姆法则克莱姆法则其中Di(i=1,2,n)是用常数项b1,b2;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：(2)则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：(i=1,2,n)例例3 解线性方程组解：方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。又：所以：所以：D=6,D118,D2=0,D3=6,D4=6注：注：在方程组(4.1)中，若所有的常数项b1=b2=bn=0，则方程组称为n元齐次线性方程组。(3)显然有零解 x1=x2=xn=0结论结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D 0，则方程组只有零解。平凡解结论结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D=0。非平凡解