高等数学下册——方向导数与梯.pptx

BUCT一、问题的提出一、问题的提出实例一实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？行才能最快到达较凉快的地点？BUCT实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行问题：何为温度变化最剧烈的方向？问题：何为温度变化最剧烈的方向？示意图示意图BUCT 实例二实例二 西点军校地形图西点军校地形图观察支流的流动方向BUCT一、方向导数一、方向导数一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:记作记作 BUCT定理定理定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得故BUCT对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角BUCT例例例例1.1.求函数求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为BUCT例例例例2 2.求函数求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为BUCT例例例例3.3.设设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数BUCT二、梯度二、梯度二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：BUCT1.1.定义定义定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义BUCT函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数 f 的等值线等值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.BUCT实例实例1 1的求解的求解金属板上各点的温度为金属板上各点的温度为各点的梯度为各点的梯度为等值线方程为等值线方程为BUCT蚂蚁应沿着负梯度方向蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点爬行才能最快到达较凉快的地点结论结论:BUCT等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动西西点点军军校校地地形形图图实实例例二二结论结论:BUCT3.3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式BUCT例例例例4.4.证证:试证处矢径 r 的模,BUCT三、物理意义三、物理意义三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.BUCT例例例例5.5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.BUCT内容小结内容小结内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为BUCT2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.BUCT思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方切线方向向 的夹角 .2.P73 题 16BUCT曲线1.(1)在点解答提示解答提示解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量BUCT2.2.P73 P73 题题 16 16BUCTP51 2，3，6，7，8，9，10 作业作业BUCT备用题备用题备用题备用题 1.1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)BUCT指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.2.函数函数提示提示:则(96考研考研)BUCT谢谢！谢谢！