高等数学重积分应用.pptx
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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法(元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法:用重积分解决实际问题的基本原则用重积分解决实际问题的基本原则目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连
2、续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.例例1分析分析:(示意图)求曲面第一步:求切平面 方程;第二步:求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D;第三步:求体积V.目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解解的切平面方程为它与曲面的交线在 xOy 面上的投影为(记所围域为D)在点例例1 1 求曲面曲面目录 上页 下页 返回 结束 例例2内接锥面所围成的立体的体积.解解则立体体积为求半径为a 的球面与半顶角为 的在球坐标系下空间立体所占区域为目录 上页 下页 返回 结束 二、
3、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且目录 上页 下页 返回 结束 例例3被柱面所截解解则出的面积 A.曲面在 xOy 面上投影为计算双曲抛物面目录 上页 下页 返回 结束 例例4解解 设球面方程为 球面面积元素为方法方法2利用球坐标方程.方法方法1利用直角坐标方程.(解略,祥见教材167页例1)计算半径为 a 的球的表面积.目录 上页 下页
4、返回 结束 例例5解解 地球半径 ).试计算该通信卫星覆盖面积与地球表面积的比值(已知卫星所覆盖的曲面 的方程为 运行的角速度与地球自转的角速度相同.建立如图所示坐标系.设有一颗地球同步通信卫星,距离地面的高度于是卫星所覆盖的面积为其中目录 上页 下页 返回 结束 利用极坐标,得目录 上页 下页 返回 结束 代入上式得由于 由此得卫星覆盖面积与地球表面积之比为 由此可知,使用三颗相隔 角度的通信卫星可以覆盖几乎地球全部表面.目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即
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