人教版初一数学下册-期末几何压轴题常考题解析.doc

一、解答题
1．如图1，点是第二象限内一点,轴于，且是轴正半轴上一点，是x轴负半轴上一点，且.

（1）（ ），（ ）
（2）如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点,求的度数: (注: 三角形三个内角的和为)
（3）如图3,当点在线段上运动时，作交于的平分线交于,当点在运动的过程中，的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.
2．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　 　
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）
3．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

4．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．
（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；
（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP时，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

5．综合与探究
（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；

（问题迁移）
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
6．已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）

7．阅读下面的文字，解答问题
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：＜＜，即2＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）
请解答：
（1）整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求|a﹣b|+的值．
（3）已知：9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
8．数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，
则，则．
①根据定义，填空：_________，__________．
②若有如下运算性质：．
根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；
③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27

错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．
9．观察下列各式：
(x－1)(x+1)=x2－1
(x－1)(x2+x+1)=x3－1
(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1
……
（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．
（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(xn+xn－1+xn－2+…+x+1)=____________．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
10．阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,而＜2于是可用来表示的小数部分.请解答下列问题：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为求的值；
(3)已知:其中是整数,且求的平方根．
11．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的完美分解．并规定：．
例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的完美分解，所以F（18）＝．
（1）F（13）＝ ，F（24）＝ ；
（2）如果一个两位正整数t，其个位数字是a，十位数字为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”；
（3）在（2）所得“和谐数”中，求F（t）的最大值．
12．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得，
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）________；
（2）_________；
（3）求的和（，是正整数，请写出计算过程）.
13．已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移到，连接，，得四边形，且．

（1）点的坐标为______，点D的坐标为______；
（2）如图1，轴于，上有一动点，连接、，求最小时点位置及其坐标，并说明理由；
（3）如图2，为轴上一点，若平分，且于，．求与之间的数量关系．
14．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．

（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）
15．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足，过C作轴于B，
（1）求a，b的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由.
（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，图3，
①求：∠CAB＋∠ODB的度数；
②求：∠AED的度数.

16．某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售日期
销售数量(盏)
销售收入(元)
A品牌
B品牌
第一天
2
1
680
第二天
3
4
1670

（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？
17．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：
将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“l型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣l型平移”．
已知点A （2，1）和点B （4，1）．
（1）将点A （2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为　 　．
（2）①将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是　 　．
②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是　 　．
（3）已知点C （6，1），D （8，﹣1），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是　 　时，B'M的最小值保持不变．

18．如图所示，在直角坐标系中，已知，，将线段平移至，连接、、、，且，点在轴上移动（不与点、重合）．

（1）直接写出点的坐标；
（2）点在运动过程中，是否存在的面积是的面积的3倍，如果存在请求出点的坐标，如果不存在请说明理由；
（3）点在运动过程中，请写出、、三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由．
19．先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足，……①，，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．
20．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．
（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．
（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．
①问（1）班有多少人得满分？
②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？

21．在平面直角坐标系中，把线段先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到线段（点A对应点C），其中分别是第三象限与第二象限内的点．

（1）若，求C点的坐标；
（2）若，连接，过点B作的垂线l
①判断直线l与x轴的位置关系，并说明理由；
②已知E是直线l上一点，连接，且的最小值为1，若点B，D及点都是关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断是正数､负数还是0？并说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，，，，满足，
（1）直接写出点，，的坐标及的面积；
（2）如图2，过点作直线，已知是上的一点，且，求的取值范围；
（3）如图3，是线段上一点，
①求，之间的关系；
②点为点关于轴的对称点，已知，求点的坐标．

23．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当时， 平方厘米；当时， 平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；
（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．

24．阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式；
（3）已知，求的整数值．
25．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．
材料2：求方程的正整数解．
解：由已知得：……①
设（为整数），则……②
把②代入①得：．
所以方程组的解为 ，
根据题意得：．
解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3．
所以方程的正整数解是：，，．
根据以上材料回答下列问题：
（1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；
（2）仿照上面的方法，求方程的正整数解；
（3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）
26．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
27．请阅读求绝对值不等式和的解的过程．
对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为；
对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或．

（1）求绝对值不等式的解
（2）已知绝对值不等式的解为，求的值
（3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值．
28．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0，D为线段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．

（1）则A点的坐标为　 　；点C的坐标为　 　，D点的坐标为　 　．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．
29．我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，且， 满足．若这一带江水两岸河堤相互平行，即，且．根据相关信息，解答下列问题．

（1）__________，__________．
（2）若灯的光射线先转动24秒，灯的光射线才开始转动，在灯的光射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯的光射线到达之前，若两灯射出的光射线交于点，过点作交于点，则在转动的过程中，与间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
30．学校美术组要去商店购买铅笔和橡皮，若购买60支铅笔和30块橡皮，则需按零售价购买，共支付30元；若购买90支铅笔和60块橡皮，则可按批发价购买，共支付40.5元．已知每支铅笔的批发价比零售价低0.05元，每块橡皮的批发价比零售价低0.10元．
（1）求每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？
（2）小亮同学用4元钱在这家商店按零售价买同样的铅笔和橡皮（两样都要买，4元钱恰好用完），共有哪几种购买方案？

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一、解答题

1．（1）A（-2,0）、B（0,3）；（2）∠APD=90°；（3）∠N的大小不变，∠N=45°
【分析】
（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b的值；
（2）如图，作DM∥x轴，结合题意可设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，根据平角的定义可知∠OAD=90°-2y，由平行线的性质可得∠OAD+∠ADM=180°，即90-2y+2x+90°=180°，进而可得出x=y，再结合图形即可得出∠APD的度数；
（3）∠N的大小不变，∠N=45°，如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC，根据平行线的性质可知∠BMD+∠OAD=∠ADM=90°，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，可得∠ANM=∠BMD+∠OAD，据此即可得到结论.
【详解】
（1）由，可得和，
解得
∴A的坐标是（-2,0）、B的坐标是（0,3）；
（2）如图，作DM∥x轴

根据题意，设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，
∵∠CAD=90°，
∴∠CAE+∠OAD=90°，
∴2y+∠OAD=90°，
∴∠OAD=90°-2y，
∵DM∥x轴，
∴∠OAD+∠ADM=180°，
∴90-2y+2x+90°=180°，
∴x=y，
∴∠APD=180°-(∠PAD+∠ADP)=180°-(y+90°-2y+x)=180°-90°=90°
（3）∠N的大小不变，∠N=45°
理由：如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC.

∵BC∥x轴，
∴DE∥BC∥x轴，NF∥BC∥x轴，
∴∠EDM=∠BMD，∠EDA=∠OAD，
∵DM⊥AD，
∴∠ADM=90°，
∴∠BMD+∠OAD=∠EDM+∠EDA=∠ADM=90°，
∵MN平分∠BMD，AN平分∠DAO，
∴∠BMN=∠BMD，∠OAN=∠OAD，
∴∠ANM=∠BMN+∠OAN=∠BMD+∠OAD
=×90°=45°.
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算出相应的线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形内角和定理和三角形外角性质.
2．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，

∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质） 即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=∠CAP，∠EBP2=∠EBP，
∴∠AP2B=∠CAP+∠EBP，
= （180°-∠DAP）+ （180°-∠FBP），
=180°- （∠DAP+∠FBP），
=180°- ∠APB，
=180°- β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
3．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，

∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
4．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由见解析
【分析】
（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠APC．
【详解】
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；
（2）∠AKC＝∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC；
（3）∠AKC＝∠APC
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP，
∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC．

【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．
5．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】
（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）作PQ∥EF，如图：

∵，
∴，
∴，，
∵
∴；
（2）①；
理由如下：如图，

过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当点在延长线时，如备用图1：

∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=，∠EPD=，
∴；
当在之间时，如备用图2：

∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=，∠CPE=，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
6．（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；
②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【详解】
解：（1）如图1，过点作，

则有，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作，

有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为；
②如图3，过点作，

有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
7．（1）7；-7；（2）5；（3）13-．
【分析】
（1）估算出的范围，即可得出答案；
（2）分别确定出a、b的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得出y的值，进而求出y的值，即可求出所求．
【详解】
解：（1）∵7﹤﹤8，
∴的整数部分是7，小数部分是-7．
故答案为：7；-7．
（2）∵3﹤﹤4，
∴，
∵2﹤﹤3，
∴b＝2
∴|a-b|+
=|-3-2|+
=5-+
=5
（3）∵2﹤﹤3
∴11＜9+＜12，
∵9+=x+y，其中x是整数，且0﹤y＜1，
∴x＝11，y＝-11+9+＝-2，
∴x-y＝11-(-2)＝13-
【点睛】
本题考查的是无理数的小数部分和整数部分及其运算．估算无理数的整数部分是解题关键．
8．①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．
【分析】
①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；
②根据运算性质：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）进行计算；
③通过9=32，27=33，可以判断f（3）是否正确，同样依据5=，假设f（5）正确，可以求得f（2）的值，即可通过f（8），f（12）作出判断．
【详解】
解：①根据定义知：f（10b）=b，
∴f（10）=1，
f（103）=3．
故答案为：1，3．
②根据运算性质，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，
f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．
故答案为：0.6020；0.6990．
③若f（3）≠2a-b，则f（9）=2f（3）≠4a-2b，
f（27）=3f（3）≠6a-3b，
从而表中有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（3）=2a-b；
若f（5）≠a+c，则f（2）=1-f（5）≠1-a-c，
∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，
f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，
表中也有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，
∴f（5）=a+c，
∴表中只有f（1.5）和f（12）的对应值是错误的，应改正为：
f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，
f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．
∵9=32，27=33，
∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．
【点睛】
本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．
9．（1）x7－1；（2）xn+1－1；（3）．
【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
（3）原式=×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= ×（x50+1-1）=
故答案为：（1）x7－1；（2）xn+1－1；（3）．
【点睛】
本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
10．(1) 4，-4；(2)1;(2) ±12．
【分析】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是-4，
故答案为4，-4；
（2）∵2＜＜3，
∴a=-2，
∵3＜＜4，
∴b=3，
∴a+b-=-2+3-=1；
（3）∵100＜110＜121，
∴10＜＜11，
∴110＜100+＜111，
∵100+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=110，y=100+-110=-10，
∴x++24-y=110++24-+10=144，
x++24-y的平方根是±12．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键．
11．（1），（2）所以和谐数为15，26，37，48，59；（3）F（t）的最大值是．
【分析】
(1)根据题意,按照新定义的法则计算即可.
(2)根据新定义的”和谐数”定义,将数用a,b表示列出式子解出即可.
(3)根据(2)中计算的结果求出最大即可.
【详解】
解：（1）F（13）＝，F（24）＝;
（2）原两位数可表示为
新两位数可表示为
∴
∴
∴
∴
∴ （且b为正整数 ）
∴b=2,a=5; b=3,a=6, b=4,a=7,
b=5,a=8 b=6,a=9
所以和谐数为15，26，37，48，59
(3)所有“和谐数”中，F（t）的最大值是．
【点睛】
本题为新定义的题型,关键在于读懂题意,按照规定解题.
12．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）设式子等于s，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于s，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；
（3）设式子等于s，将方程两边都乘以a后进行计算即可.
【详解】
（1）设s=①，
∴2s=②，
②-①得：s=，
故答案为：；
（2）设s=①，
∴3s=②，
②-①得：2s=，
∴,
故答案为： ；
（3）设s=①，
∴as=②，
②-①得：（a-1）s=，
∴s=.
【点睛】
此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.
13．（1），；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）根据已知条件求出AD和BC的长度，即可得到D、C的坐标；
（2）连接BD与直线CG相交，其交点Q即为所求，然后根据求出 QC、QG后即可得到Q点坐标；
（3）过H作HF∥AB，过C作CM∥ED，则根据已知条件、平行线的性质和角的有关知识可以得到 ．
【详解】
（1）解：由题意可得四边形ABCD是平行四边形，且AD与BC间距离为1-（-1）=2，
∴平行四边形ABCD的高为2，
∴AD=BC=S四边形ABCD÷2=12÷2=6，
∴C点坐标为（-4+6，-1）即（2，-1），D点坐标为（-2+6，1）即（4，1）；
（2）解：如图，连接交于，

∵，
∴此时最小（两点之间，线段最短），
过作于，
∵，，，
∴，，，
设，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，，
∴．
∵平分，∴．
又∵，
设，则，
∴，，
过作，

又∵，∴，
∴，∴．
过作，
∴，．
∵于，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的判定与性质、平移坐标变换规律、两点之间线段最短的性质、角的有关知识和运算是解题关键 ．
14．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF
【分析】
（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：；
（2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；
（3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得；
②结合①可得，由，得出；可得，由，得出．
【详解】
解：（1）如图1，过点作，

，
，
，
，
，
；
（2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；

过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图3，若当点在的左侧时，

，
，
，分别平分和，
，