钢筋混凝土梁单元截面刚度求解方法.pdf

第 6卷第 1期 2 0 0 9年 2月 铁道科学与工程学报 J OURN AL OF RAl L WAY SCI E NCE AND E NGI NEERI NG V O 1 6 F e b N0 1 2 o o9 钢筋混凝土梁单元截面 刚度求解方法 曾永革 。 李传 习 ( 1 邵 阳学院 城 市建设 系， 湖南 邵 阳4 2 2 0 0 0 ； 2 长沙J Ez - 大学 土木与建筑学院， 湖南 长沙 4 1 0 0 7 6 ) 摘要： 在考虑材料非线性的有限元分析中， 根据荷载进行相应的钢筋混凝土梁单元截面刚度的求解。通过对 C r a n s t o n方 法求解截面刚度的原理和步骤的分析， 指出由于混凝土和钢筋的应力 一应变关系曲线均为分段曲线， 应用C r a n s t o n方法进 行单元截面参考轴应变和曲率迭代计算时可能会 出现不收敛的情况， 依据函数的单调性和连续函数的介值定理， 提 出在该 情况下可采用加速搜索区间法和二分法相结合进行钢筋混凝土梁单元刚度求解。基于该方法编写考虑材料非线性的平面 杆系有限元程序， 并用算例进行验证， 表明其具有 良好的收敛效果。 关键词： 材料非线性； 有限元法； 截面刚度； 加速搜索区间法； 二分法 中图分类号 ： T U 3 7 8 文献标识码 ： A 文章编号 ： 1 6 7 2 7 0 2 9 ( 2 0 0 9 ) 0 1 0 0 6 2 0 6 Ca l c u l a t i n g me t h o d s f o r s e c t i o n r i g i d it y o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a m e l e me n t ZENG Yo n gg e 。 一 LI Ch u a nx i ( 1 D e p a r t m e n t o f U r b a n C o n s t r u c t i o n ， S h a o y a n g U n iv e r s i t y ， S h a o y a n g 4 2 2 0 0 0， C h i n a ； 2 S c h o o l o f C i v i l A r c h i t e c t u r a l E n g i n e e r i n g ，C h a n g s h a U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y ， C h a n g s h a 4 1 0 0 7 6 ，C h i n a ) Ab s t r a c t ：T h e s o l u t i o n o f c o r r e s po n di n g e l e me n t r i g i d i t y o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e b e a ms wa s d i s c u s s e d a c c o r d i n g t o l o a d i n F EM p r o g r a m f o r wh i c h t h e ma t e r i a l n o n l i n e a r i t y wa s t a k e n i n t o a c c o u n t By t h e p rin c i p l e a n d p r o c e s s o f Cr a ns t o n me t h o d，i t i s p o i n t e d o u t t h a t Cr a n s t o n me t h o d s o me t i me s wi l l n o t c o n v e r g e wh e n t he s t r a i n a nd c u r v e o f t h e r e f e r e n c e a x i s i n t h e s e c t i o n i s u s e d t o c a l c u l a t e a s t h e c u r v e s o f s t r e s s s t r a i n o f c o n c r e t e a n d r e i n f o r c i n g b a r a r e s e c t i o na 1 Ba s e d o n t h e f u n c t i o n mo no t o n i c i t y a n d t h e i n t e r me d i a t e v a l u e t h e o r e m ，t he a c c e l e r a t i n g i n t e rva l s e a r c h me t h o d c o mb i n e d wi t h d i c h o t o my wa s pu t f o r wa r d t o r e s o l v e t h e e l e me n t r i g i d i t y o f RC b e a ms A F EM p r o g r a m wa s c o d e d a n d p r o v e s t h a t t h e n e w me t h o d h a s a s a t i s f i e d c o n v e r g e n c e e f f e c t Ke y wo r d s：ma t e ria l n o n l i ne a r i t y；FEM ；s e c t i o n r i g i d i t y；a c c e l e r a t i ng i n t e r v a l s e a r c h me t ho d；d i c h o t o my 在平面杆系有限元分析 中， 对于钢筋混凝土梁 单元 ， 其单元刚度是随着荷载的变化而变化的。为 了使分析能够更好地符合实际工作状态 ， 有必要根 据构件 的实际受力状态求得相应 的单元刚度 ， 特别 是在对结构或构件的仿真计算中， 考虑材料非线性 的影响， 随着逐级加载， 不断调整单元的刚度 ， 从而 能够实现对结构或构件从加载到破坏的全过程分 析。通常求解单元刚度的方法为试算法 J ， 其基 本原理是根据构件所受的轴力和弯矩 ， 事先假定一 个截面应变 ， 反算该截 面内力 ， 若计算内力与实际 内力相吻合 ， 则认 为假定 的截面应变就是实 际应 变 ， 再根据该应变求得截面的刚度 ； 若不吻合 ， 则逐 步改变截面的应变和 曲率 ， 反复调试 ， 直至计算 内 力与实际内力相吻合为止。为了提高收敛速度 ， 目 前基于上述原理用于计算钢筋混凝土梁单元截面 刚度的方法主要有 2种 ( 均是将 截面划分 为水平 条带 ， 通过分层 积分来 求得截 面刚度 ) 。一种是 C r a n s t o n 方法。该方法求截面刚度的基本思路是， 由于截面内力 和 均为截面某条参考轴正应变 收稿 日期 ： 2 0 0 81 11 7 基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目( 5 0 7 7 8 0 2 4 ) 作者简介 ： 曾永革 ( 1 9 7 4一) ， 男 ， 湖南洞 口人 ， 硕士 ， 讲师 ， 从事桥梁结构的研究 第 1 期 曾永革 ， 等： 钢筋混凝土梁单元截面刚度求解方法 6 3 和曲率 的二元函数， 故截面内力差值 A N和 可展开为 。 和 。的 T a y l o r 级数 ， 取其线性项 ， 通过解方程迭代即可求得截面内力 和 对应 的 截面参考轴正应变 和曲率 ， 进而用分层积分 的方法求得截面的刚度 。该方法具有较快 的收 敛速度 ， 但是 ， 由于混凝土和钢筋的应力 一应变关 系曲线均为分段曲线， J7、 r 和 M 与 占 和 之间是分 段函数关系 ， 在分段曲线的转折点前后 ， 和 M对 和 的偏导数可能差别较大， 导致用 C r a n s t o n 方法来求截面刚度有时不会收敛 ， 这在钢筋屈服和 接近极限荷载时表现尤为突出。吕西林等 则提 出另一种已知弯矩求截面曲率， 进而求解钢筋混凝 土平面梁单元刚度的方法。该方法实际上是数值 分析中求解非线性方程的割线法。该方法要求方 程的二阶导数连续 ， 即 对于 。 的二 阶导数连续 和 对于 的二阶导数连续 。由于分层组合模型 和应力应变的非线性关系， 当钢筋屈服或接近极限 荷载时 对于 占 和 对于 的曲线会 出现 “ 尖 点” ， 此时一 阶导数 尚且不连续 ， 二阶导数更不 连 续。针对上述方法的缺陷， 本文作者提出将加速搜 索区间法和二分法相结合来求截面刚度 ， 该方法有 较快的收敛速度 ， 且不存在能否收敛的问题 。 1 计算原理 1 1 C r a n s t o n方法的迭代原理和步骤 如图 1 所示 ， 某钢筋混凝土矩形截面梁受轴力 和弯矩的共同作用， 现把横截面分成若干混凝土和 钢筋纤维层( 条带) ， 它们垂直于梁单元轴线而平行 于截面的中和轴， 每个层元( 或称条元) 划分的大小 以其应力可均匀分布为宜。开始时， 在截面某一高 度( 例如截面 1 2高度 ) 确定一条水平参考轴 ， 先假 定截面参考轴处的平均应变和曲率。根据平截面假 定 ， 应变沿高度方向为线性分布， 因此 ， 由初始假定 的平均应变和曲率可以确定整个截面上各层元的应 变分布规律， 再根据材料的应力 一 应变曲线， 即可得 到各小层元上的应力 ， 进而分层积分求得截面上 的 轴力与弯矩的计算值。若按此方法求得的计算值与 截面实际所受的轴力与弯矩相当接近， 则可以认为 假定的截面参考轴处的平均应变和曲率初始值是正 确的， 即可分层积分计算截面刚度； 但通常情况下求 得的计算值与截面上所受 的轴力 与弯矩不会很接 近， 因此， 要调整假定的截面参考轴处的平均应变和 曲率， 直到满足所需要 的精度要求为止 。具体 计算步骤如下： 1 )把截面分成 T t 层 ， 各小层 元 的面积 A = ( B H) n， 每一层元面积 的形心与截面参考轴的距 离为 Y ， Y 在参考轴 以上为正 ， 反之为负 ( 见 图 1 ( a ) ) 。 ( ) ( b) I c ) 图 1 单元截面划分及应 变应 力图 F i g 1 Di v i s i o n o f c r o 8 5一 s e c t i o n a n d g r a p h o f s t r a i n a n d s t r e s s 、 2 )确定迭代初始值。第 1 级荷载作用时取 占 =N ( E A )， =M ( E I )， 作为假定 的截面参考 平均应变和曲率初始值( E A和 分别表示截面 应力为零时的轴向刚度与抗弯刚度 ) ， 在以后 的各 级荷载作用时 ， 可按前一级荷载迭代收敛后的 和 来估计初始值 ， 为 ： 一 一 N P 一r 却。 ( 1 ) l 一 一 ， ap 。 。 其中： 和 分别为假定的P 荷载作用下截面参 考轴处的应变与曲率， 占 受拉为正， 受压为负， 下挠为正 ， 上拱为负 ； 一 4 P和 分别为 P一卸 荷载作用下迭代收敛 时截面参考轴处的应 变与曲 率 ； 和 分别为 P荷载作用下截面轴力与弯 矩 ； 一 却和 一 4 P 分别为PA p荷载( 即前一级荷 载) 作用下截面轴力与弯矩。 3 )由 和 确定截面上各层元的应变分布 规律( 见图 1 ( b ) ) ： = P一 ) ， 。 ( 2 ) 其中： 为第i 层元的正应变， 受拉为正， 受压为负。 钢筋的应变分别为 ： j_ s 一 ( 一 。 ( 3 ) 【 g = p+ P ( 一口 ) 。 其中： 和 分别为受压与受拉钢筋的应变 ； H， 和 分别为参考轴到混凝土受压边缘和受拉边缘 铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2 0 0 9年 1 月 的距离 ， 均取正值 ； 口 和 a分别为受压和受拉钢筋 的重心到最近截面边缘的距离， 均取正值。 4 )由混凝土和钢筋的应力 一 应变关系曲线分 别求出相应于 ， ： 和 的混凝土分层的应力 与钢筋的应力 ： 和 o r ， 应力受拉为正 ， 受压为负。 5 ) 求截面轴力和弯矩 ： 0 =o -iA + + o -g A ， i = 1 ：一 一 i A i ( H ，一口 ，( 4 ) + g A g ( H 2一a ) 。 其 中： N o 和 分别为假定截面参考轴处 和 下截面轴力与弯矩计算值 ， 轴力 以受拉为正 ， 受压 为负， 弯矩以下挠为正， 上拱为负； A 和A 分别为 截面受压与受拉钢筋的面积； A 为截面第 i 分层的 面积 。 6 )判断计算是否收敛 ： l 0 一 N p I e N p ， ( 5 ) 【 I 一 l e 。 其 中： e 为一小值 。 7 )如果第 6步不收敛 ， 转第 8步 ， 收敛则确定 截面中和轴的位置 ， 并计算 出各条带到中和轴的距 离 ， 再按下式计算截面刚度 ： E A=E iA + E g A g + E g A g ， ： l 1 E I ( E A + h aE i) + E ia ( 日 一 口 。 L + E gA ( 一口 ) 。 ( 6 ) 其中： E A和 E ， 分别为截面轴向与抗弯刚度 ； E 为 第 i 分层混凝土的弹性模量； E ：和 E 分别为受压 与受拉钢筋的弹性模量； h为第 i 分层混凝土条带 的高度 ； B为第 i 分层混凝土条带的宽度。 8 )取 =N o ， A M =Mo 一 ， 调整 和 。 的值使 A N和 A M 在下一轮迭代 中减至零。 用 和 表示 所需的调整值 ， 将 A N和 A M 用 T a y l o r 级数展开 ， 并取其线性项 ， 可得以下方程组 ： f + ： 一 ， J a ( 7 ) 1 0 A M A + a A M A ： 一 A M 。 a p d 其 中： ： ( A E )+A E +A ， 州 E ； 0 6 n 1 ： 主( A E 2 ) + A E 2 + 0 口 。 1 A g E g Y ； ； ： 主( A y ) 一 A 一 “ D 1 g ： l： E g Y g； ： 主 ( E A y ) 一 A I： E g * y g u 6 P 1 A g E Y g。 E ， E 和 E 分别为第 i 分层混凝土的切线弹性模 量和受拉 、 受压钢筋的切线弹性模量； ， ， 和Y 分别 为受拉 、 受压钢筋到截面参考轴的距离。 则下一次 迭代截面参考轴处 的应变与曲率为： E p 肋 + ( 8 ) l = 。 + 。 其中： 占 。 和 分别为调整前的s 和 。 确定了新的口 和 后转第3步进行计算 ， 反复 循环直到满足收敛条件为止 。 确定了单元两端截面的刚度后， 单元 的刚度可 近似取为两端截面刚度 的平均值 ， 这要求结构梁单 元长度划分不宜过大 ， 具体划分长度视结构尺寸 、 计算精度及计算效率而定。 1 2 C r a n s t o n方法的缺陷及改进 从上面 C r a n s t o n方法求解钢筋混凝土梁单元 刚度 的过程可以看出， 该方法求截面刚度的基本思 路是 ， 由于截面内力和 均为截面参考轴正应变 和曲率 的二元 函数 ， 故截面 内力差值 和 、 r 可展开为 和 的T a y l o r 级数 ， 取其线性项 ， 解 方程迭代 即可求得截面内力 和 对应 的截面参 考轴正应变 和曲率 ， 进而用分层积分的方法求 得截面刚度。 因此 ， 求解单元刚度 的关键在于求得 截面参考轴正应变 和曲率 。 但是 ， 由于混凝土 和钢筋 的应力 一应变关系曲线均为分段曲线 ， 和 与 。 和 之间是分段函数关系， 在分段曲线的 转折点前后 ， 和 对占 和 的偏导数可能差别较 大 ， 导致用 C r a n s t o n方法来求 截面刚度有时不收 敛 ， 在钢筋屈服时和接近极 限荷载时尤其如此 。 此时 ， 需用其他方法对 和 求解。 计算 时可先令 。不变， 对 进行求解， 使得 I A N I e ( e 为一小 值) ， 而后令 不变， 对 进行求解， 使得 I A M I 第 1 期 曾永革， 等： 钢筋混凝土梁单元截面刚度求解方法 6 5 e ， 此时， 可能 A N又不收敛 ， 则令 不变 ， 再对 。 进 行求解 ， 使得 I I0时， 不断减小 。 可使 0时 ， 不断减小 ， 可使 A M 0的情况， 其计算流程如图 2所示 。 图 2 加 速搜 索 区间法流程 图 Fi g2 Fl o w c ha r t o f a c c e l e r a t i ng i n t e r v a l s e a r c h me t h o d 1 2 2 二 分 法 在关于变量 的某 一区间 ， 若 区间两端对应 的函数值 A N一正一负 ， 则根据连续函数 的介值定 理 ， 该区间内必存在 使 =0， 同样 ， 在关于 的某一区间， 若 区间两端对应 的函数值 A M 一正一 负， 则必存在 使 A M ：0 。 因此， 用加速搜索区间 法找到包含 =0关于 的区问或包含 =0 关于 的区间后 ， 即可应用二分法 求得相应 的 或 ， 使得 =0或 =0 ， 其流程如图 3所 示 。 流程图中 ( )为连续 函数 ， 在本文程序 中分 别代表 关于 的函数和 关于 的函数。 0 和 b分别为函数 ( )的 自变量 在区间两端点的取 值 ， ( 口 )和 ( b )取值正负号相异。 图 3 二 分法流程图 Fi g 3 F l o w c h a r t o f d i c h o t o my 2 算 例 基于以上的方法 ， 本文编写了考虑材料非线性 的平面杆系有限元程序 。 该程序在求解钢筋混凝土 梁单元刚度时 ， 在一般情况下采用 C r a n s t o n方法， 在 C r a n s t o n 方法不收敛时， 采用上述加速搜索 区间 法和二分法相结合进行求解。 现取文献 8 中的 T一2试验梁进行程序 验 证 。 该试验梁的相关试验数据如下 =3 0 MP a ， A = 2 0 1 mm =5 3 0 MP a ， A ：=4 0 2 mm ， f：= 3 3 8 MP a ， E 。=1 2 0 G P a 。 其 中； 为混凝土圆柱体 抗压强度 ； 为受拉钢筋截面积 为受拉钢筋屈 服强度 ； ： 为受压钢筋截面积 为受压钢筋屈服 强度 ； 为预应力筋弹性模量 。 梁的计算跨度为 3 0 0 0 m m， 采用三分点加载 ， T梁加载及横截面配筋 分别见 图4和图 5 。 应用有 限元程序计算时 ， 混凝 土的应力 一应变关系在受压区采用 S a e n z 公式 ， 并 将达到受压极限应变后的应力 一应变曲线处理为 水平线 ， 受拉区应力 一应变关系处理为直线 J 。 预 应力钢筋应力应变关系采用 Me n e g o t t o与 P i n t o的 公式 ， 普通钢筋采用理想 化的应力应变本构关 系曲线 ， 其 中对于材料本构关系取值如下： = 一0 0 0 3 5， o r o = 一3 7 5 MPa， 0 = 一 0 0 0 2， or =2 9 6 MPa， o r =2 5 00 M Pa， = 0 0 6， E, 0 = 铁 道 科 学 与 工 程 学 报 2 0 0 9年 1 月 1 9 3 0 00 MP a， = 0 00 2 6 5， = 5 3 0 MPa， 占 = 0 0 3 9 9，6 = 0 0 01 6 9， o r = 3 3 8 MPa， 占 = 0 0 0 9 4 4 。 其中： 。 ， 氏 和 o r 分别为混凝土的极 限压应变、 屈服压应力、 屈服压应变和极限拉应力； o r 和 E P 0 分别为预应力钢筋的极限应力 、 极限 应变和弹性模量 ； ， 和占 分别为普通受拉钢筋 的屈服应变、 屈服应力和极 限应变 ； 占 or 和 分别为受压钢筋的屈服应变 、 屈 服应 力和极限应 变 。 ( 单位： m m) 图 4 T一2试验 梁加 载图 Fi g 4 L o a d i n g o fT 一2 t e s t b e a m ( 单位 ： mil 1 ) 图 5 T一2试验梁截面配筋图 F i g 5 Cr o s s s e c t i o n o f T 一2 t e s t b e a m 本文程序采用分级加载进行仿真计算， 计算结 果与试验结果对比见图6 。 可以看出， 本文计算结果 与实验结果较吻合。 但计算结果与试验结果相比， 刚 度偏大 ， 这主要是由于在确定材料应力 一应变关系 时 ， 相关参数取值与实际值有所差异 ， 导致材料的变 形模量比实际有所偏大。 一般说来， 每级荷载作用下 求取截面刚度的迭代次数( 以该级荷载作用下截面 参考轴应变和曲率每试取值 1次进行 1 次迭代)越 少 ， 其计算效率越高。 在计算过程 中， 程序在普通钢 筋屈服前采用C r a n s t o n 方法进行平面梁单元刚度求 解， 每级荷载作用下迭代次数在 1 0 次以内即可求得 截面刚度， 当P= 8 1 k N 时， 控制截面普通钢筋屈服， 用 C r a n s t o n方法进行刚度求解， 计算迭代了 3 0次仍 未收敛， 输出表明 在6 2 9 2 5 31 0 1 1 8 8 2 1 O 来 回震荡 ， 则在3 448 8 31 0 一4 1 6 1 0 7 x 1 0 来回震荡， 用 C r a n s t o n 方法求解截面刚度失 效 ， 程序改用加速 区间搜索法和二分法相结合进行 截面刚度求解， 迭代 1 8次后求得截面刚度， 在后续 分级加载中， 程序继续采用 C r a n s t o n方法进行梁单 元截面刚度求解， 当P =8 5 k N时， 控制截面的刚度 求解迭代了 3 0次 ， 程序输 出显示 A 6在 1 0 2 4 5 9 1 0 一 0 0 0 1 3 4 3 8 2来 回震荡， 则在 1 1 5 4 1 1 0 0 0 1 5 8 5 0 2来回震荡， 表明迭代不收敛， C r a n s t o n方法失效 ， 此时梁已接近极限承载力， 将加 速区间搜索法和二分法相结合进行截面刚度求解后 程序得以继续进行计算， 直至 P =8 7 k N， 梁达到承 载力极限状态。 Z 镉 椽 鼻 l u u 8 0 一 | = = ； 一 6 0 一 40 +本文计算结果 一 20 f 【+ 试 验 结 果 -1 0 0 1 0 20 3 0 4 0 5 0 跨 中挠度 m m 图 6 T一 2整体 梁试验 结果 与本 文计算结果对比 Fi g 6 C o n t r a s t o f e x p e r i me n t r e s u l t s a n d c a l c u l a t i n g r e s u l t s f o r T 一2 t e s t b e a m 3 结论 1 ) 在考虑材料非线性的平面杆系有限元分析 中， C r a n s t o n 方法用来计算钢筋混凝土梁单元的刚 度 ， 在一J l 殳 J隋况下具有较快的收敛速度 ， 但是 ， 该方 法在某些情况下如钢筋屈服、 承载力接近极限状态 时可能不收敛。 2 ) 采用将加速区间搜索法和二分法相结合进 行截面刚度求解 的算法， 是对 C r a n s t o n方法的一个 有效补充 。算例表明， 该方法用于钢筋混凝土梁在 普通钢筋屈服和梁接近极 限承载力等情况时具有 较好 的收敛效果 ， 可以在 C r a n s t o n方法失效时采 用。 参考文献： 1 李德慧， 李传习， 刘光栋 考虑材料非线性时钢筋混凝 土平面梁单元刚度的计算方法 J 长沙理工大学学 报， 2 0 0 4 ， 1 ( 1 ) ： 3 4 3 8 U De - h u i ，L I C h u an - x i ，L I U G u a n g d o n g Ri g i d i t y a n al y s i s o f r e i n f o r c e d c o n c r e t e p l a n e b e a m e l e me n t i n n o n l i n 第 1 期 曾永革， 等： 钢筋混凝土梁单元截面刚度求解方法 6 7 e a r ma t e r i a l m o d e l J J o u r n al o f C h a n g s h a 、 U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y ：N a t u r al S c i e n c e ， 2 0 0 4 ，1 ( 1 ) ： 3 43 8 2 吕西林 ， 金国芳， 吴晓涵 钢筋混凝土结构非线性理论 与应用 M 上海： 同济大学出版社， 1 9 9 7 L U Xi l i n，J I N G u o f a n g ，WU Xi a o h a n T h e o r y an d印一 p l i c a t i o n o f r e i f o r c e d c o n c r e t e s t r u c t u r e n o l i e a i t y M S h a n g h a i ： T o n i U n i v e r s i t y P r e s s ， 1 9 9 7 3 赵振铭， 陈保春 杆系与箱型梁桥结构分析及程序设计 M 广州： 华南理工大学出版社， 1 9 9 7 Z HAO Z h e n - mi n g ，CHEN Ba o c h u n S t r u c t u r a l a n a l y s i s a n d p r o g r a m d e s i g n o f r o d a n d b o x b e a m b il g e s M G u an g z h o u：S o u t h Ch i n a Un i v e rsi t y o f S c i e n c e an d T e c h - n o l o gy P r e s s ， 1 9 9 7 4 李德建 钢筋混凝土桥梁结构空间弹塑性极限承载力 非线性分析推广的 C r a n s t o n法 J 湘潭矿业学院 学报 ， 2 0 0 3 ， 1 8 ( 2 ) ： 2 6 2 9 L I D e - j i a n T h e e x t e n d e d c r a n s t o n m e t h o d o n s p a c e s t a - b i l i t y u l t i ma t e l o a d n o n l i n e a r an aly s i s o f c o n c r e t e b ri d g e J J o u r n al o f X i ang t a n Mi n e r al I n d u s t ry， 2 0 0 3 ， 1 8 ( 2 ) ： 2 629 5 柯红军， 李传习， 李德慧 钢筋混凝土空间梁单元截面 刚度计算的 C r a n s t o n方法应用探讨 J 公路交通科 技 ， 2 0 0 6 ， 2 3 ( 4 ) ： 6 7 7 0 K E H o n g - j u n ，L I C h u an x i ， L I D e - h u i C al c u l a t i n g m e t h o d f o r s e c t i o n s t i ff n e s s o f RC s t ruc t u r e s t a k i n g e l a s t i c i t y a n d p l a s t i c i t y i n t o a c c o u n t c r an s t o n me t h o d an d i t s a p - p l i c a t i o n J J o u r n al o f H i g h w a y and T r ans p o r t a t i o n R e - s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t ， 2 0 0 6 ， 2 3 ( 4 ) ： 7 6 7 0 6 李德慧 体外预应力简支梁受弯性能研究及极限承载 力分析 D 长沙 ： 长沙理工大学， 2 0 0 4 L I D e - h u i R e s e a r c h o n a n t ib e n d i n g c a p a c i t y a n d u h i ma t e l o a d o f e x t e r n a l l y p r e s t r e s s e d c o n c r e t e s i mp l e b e a ms D C h a n g s h a ：C h a n g s h a U n i v e rs i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o gy ， 2 0 0 4 7 李庆扬， 王能超， 易大义 数值分析 M 武汉： 华中 工大学出版社 ， 1 9 8 6 L I Q i n g y a n g ，WA N G N e n g c h a o ，Y i D a y i N u m e ri c a l anal y s i s M Wu h a n ：C e n t r al C h i n a U n i v e r s i t y o f S c i e n c e an d T e c h n o l o gy P r e s s ， 1 9 8 6 8 T a n K H， N g C K E ff e c t s o f d e v i a t o r s a n d t e n d o n c o n f i g - u r a t i o n o n b e h a v i o r o f e x t e mal l y p r e s t r e s s e d b e ams J A C I S t ruc t u r al J o u r n al， 1 9 9 7， 9 4 ( 1 ) ： 1 3 2 2 9 徐栋 节段施工体外 预应力桥梁的极限强度分析 D 上海： 同济大学， 1 9 9 8 XU Do n g U l t i ma t e a n aly s i s o f s e g me n t al e x t e r n a l l y p r e s t r e s s e d b ri d g e s D S h a n g h a i ： T o n i U n i v e r s i t y ， 1 9 9 8 1 0 过镇海 ， 时旭东 钢筋混凝土原理和分析 M 北京 ： 清华大学出版社， 2 0 0 3 GUO Z h e n h a i ，S HI Xu d o n g Re i n f o r c e d c o n c r e t e t h e o ry a n d analy s i s M B e i j i n g ： T s i n g h u a U n i v e rs i t y P r e s s ， 20 o3 1 1 曾永革 体外预应力混凝土桥梁 的抗 弯性 能分析 D 长沙： 长沙理工大学 ， 2 0 0 7 Z EN G Yo n g g e An aly s i s o f a n t i b e n d i n g c a p a b i l i t y o f e x t e rnall y p r e s t r e s s e d c o n c r e t e bea m s D C h a n g s h a ： C h an g s h a U n i v e rsi t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o gy ，2 0 0 7