《解三角形》常见题型总结.doc
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1、解三角形常见题型总结1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1:利用正弦定理解三角形例1 在ABC中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解:【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。例2在ABC中,已知c=+,C=30,求a+b的取值范围。【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数,然后再求解。解:C=30,c=+,由正弦定理得: a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2
2、(+)sin(150-A).a+b=2(+)sinA+sin(150-A)= 2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A) 当75-A=0,即A=75时,a+b取得最大值=8+4; A=180-(C+B)=150-B,A150,0A150,-7575-A75,cos75cos(75-A)1, cos75=+.综合可得a+b的取值范围为(+,8+4考察点2:利用正弦定理判断三角形形状例3在ABC中,tanB=tanA,判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断ABC的形状。解:由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得:,即,.
3、为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在ABC中,由得A=B”是常犯的错误,应认真体会上述解答过程中“A=B或A+B=”的导出过程。例4在ABC中,如果,并且B为锐角,试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解:.又B为锐角,B=45.由由正弦定理,得,代入上式得:考察点3:利用正弦定理证明三角恒等式例5在ABC中,求证.【点拨】观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将转化为.证明:由正弦定理的变式得:同理【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后利用三角知识去解决,要注
4、意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C=2B,求证.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明:【解题策略】有关三角形的证明题中,要充分利用三角形本身所具有的性质。考察点4:求三角形的面积例7在ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若,求ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c,再求面积。解:由题意,得B为锐角,由正弦定理得【解题策略】在ABC中,以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟,并能灵活应用, 例8已知ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,ABC的外接圆半径为
5、12,且,求ABC的面积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解:【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合,通过讨论三角函数值的取值,求得面积的最大值。考察点5:与正弦定理有关的综合问题例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识,考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1:(R为ABC的外接圆半径),又A,B为三角形的内角,当时,由已知得综上可知,内角.解法2:由及正弦定理得,从而即又0A+B,【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法,熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例1
6、0在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=10,,求a,b及ABC的内切圆半径。【点拨】欲求边,应将已知条件中的边角统一,先求角再求边。解:变形为又ABC是直角三角形。由解得【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。-易错疑难辨析易错点 利用正弦定理解题时,出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有:(1)已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求另一边的对角时,出现漏解或增解;(2)在判断三角形的形状时,出现漏解的情况。例1(1) 在ABC中,(2) 在ABC中,【错解】(1) 由正弦定理得(2) 由正弦定理得【点拨】(1)漏解,由(0B180)可得
7、因为ba,所以两解都存在。(2)增解。由(0B180)可得,因为ba,根据三角形中大边对大角可知BA,所以不符合条件,应舍去。【正解】(1)由正弦定理得又0B180(经检验都符合题意)(2)由正弦定理得又0B180ba,根据三角形中大边对大角可知BA,不符合条件,应舍去,。易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中,忽略三角形本身的隐含条件,如内角和为180等造成的错误。例2在ABC中,若求的取值范围。【错解】由正弦定理得【点拨】在上述解题过程中,得到了后,忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件。【正解】由正弦定理可知0B45,1.13,故13.高考真题评析例1(2
8、010广东高考)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若则【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质,解题的关键是确定角C的值。【点拨】在ABC中,又,故,由正弦定理知又ab,因此从而可知,即。故填1.【名师点评】解三角形相关问题时,应灵活掌握边角关系,实现边角互化。例2(2010北京高考)如图1-9所示,在ABC中,若则【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题,同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。【点拨】由正弦定理得,C为钝角,B必为锐角,故填1【名师点评】在范围内,正弦值等于的角有两个,因为角C为钝角,所以角B必为锐角,防止忽略角的范围而出现增
9、解ABC1图1-9例3(2010湖北高考)在ABC中,则等于( ) 【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式,解题的关键是确定角B的范围。【点拨】由正弦定理得,B为锐角。,故选D【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围,从而确定角B的余弦值。例4(2010天津高考)在ABC中,(1)求证 ;(2)若,求的值。【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,同时考察基本运算能力。证明:(1)在ABC中,由正弦定理及已知,得。于是即因为B-C,从而B-C=0,所以B=C .解:(2)由和(1)得,故又02B,于
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