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2017-2018学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）
1. 已知集合A={x 2≤2x≤4}，B=（0，4），则A∪B=（　　）
A. (1,4) B. (0,4) C. (0,2 D. [1,2
2. 下列两个函数是相等函数的是（　　）
A. 函数y=x和y=(x)2
B. 函数y=x和y=x2x
C. 函数y=ln(1-x2)与y=ln(1-x)+ln(1+x)
D. 函数y=ln(x2-1)与y=ln(x-1)+ln(x+1)
3. 函数y=ex-e-x的图象为（　　）
A. B.
C. D.
4. 函数f（x）=3x+3x-8的零点所在区间为（　　）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
5. 已知向量e1，e2不共线，a=e1+λe2，b=2e1-（λ-1）e2，若a∥b，则（　　）
A. λ=-1 B. λ=12 C. λ=13 D. λ=-13
6. 在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100πt），y2=3cos（100πt），则这两个声波合成后即y=y1+y2的振幅为（　　）
A. 3 B. 6 C. 32 D. 62
7. 若sin66°=m，则cos12°=（　　）
A. 1-m2 B. ±1-m2 C. 1+m2 D. ±1+m2
8. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1+ye2，则把有序数对（x，y）叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标假设OP=（2，2），则 OP =（　　）
A. 22 B. 23 C. 433 D. 432
9. 在△ABC中，若sinBsinC=cos2A2，则下面等式一定成立的是（　　）
A. A=B B. A=C C. B=C D. A=B=C
10. 已知log2x=log3y=log5 ＞0，则（　　）
A. x<3y<5z B. 3y<x<5z C. 5z<3y<x D. 5z<x<3y
11. 已知函数f（x）=cos（ωx-π6）+ω（ω＞0）的部分图象如图所示其最小值为0，则下列选项判断错误的是（　　）
A. f(π6-x)=f(π6+x)
B. f(x)+f(2π3-x)=2
C. f(8π3)=1
D. MN =π

12. [普通高中 已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2 时，f（x）=（x-1）2，如果g（x）=f（x）-log5x，则函数y=g（x）的零点个数为（　　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
13. [示范高中 已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2时，f（x）=2 x-1 -1，如果g（x）=f（x）-log3 x-2 ，则函数y=g（x）的所有零点之和为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
14. 已知函数f（x）=2x-1,x<0-log2(x+1),x≥0，则f（f（3））=______．
15. 将函数y=3sin（2x+π6）图象向右平移π6个单位，向上平移1个单位后得到函数y=f（x）的图象，则f（x）=______．
16. 已知tanθ=-2，则2cos2θ2-sinθ-12sin(θ+π4)=______．
17. 【普通高中】若对任意x≤2，都有（ax+2）（x2-4）≤0，则a=______．
18. 【示范高中】设a，b∈ ，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b=______．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19. 已知函数f（x）=3x+12x-1．
（Ⅰ）求f（13），f（23），f（14），f（34）的值；
（Ⅱ）当实数a≠12时，猜想f（a）+f（1-a）的值，并证明．

20. 已知向量a=（2sinx，-1），b=（sinx，3），若函数f（x）=a⋅b．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

21. 在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是T0，经过一定时间t后，温度T将满足T-Ta=(12)th(T0-Ta)，其中Ta是环境温度，h称为半衰期．现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

22. 已知函数f（x）=3cos2ωx+sinωxcosωx-32（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）＞22，求x取值的集合．

23. 已知在直角坐标系xOy中，P（1，1），A（x，0）（x＞0），B（0，y）（y＞0）
（Ⅰ）若x=14，PB⊥AB，求y的值；
（Ⅱ）若△OAB的周长为2，求向量PA与PB的夹角．

24. 已知函数f（x）=ln（x2+1+mx）（m∈R）．
（Ⅰ）是否存在实数m，使得函数f（x）为奇函数，若存在求出m的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若m为正整数，当x＞0时，f（x）＞lnx+1m+32，求m的最小值．

答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵集合A={x 2≤2x≤4}={x 1≤x≤2}，B=（0，4），
∴A∪B=（0，4）．
故选：B．
先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．
本题考查并集的求法，考查并集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：A．y=x的定义域为R，的定义域为{ ≥0}，两函数不相等；
B．y=x的定义域为R，的定义域为{ ≠0}，不相等；
C．y=ln（1-x2）的定义域为（-1，1），
y=ln（1-x）+ln（1+x）=ln（1-x2）的定义域为（-1，1），两函数相等；
D．y=ln（x2-1）的定义域为{ ＜-1，或x＞1}，
y=ln（x-1）+ln（x+1）的定义域为{ ＞1}，不相等．
故选：C．
通过求函数定义域，即可判断A，B，D三个选项错误，从而选C．
考查函数的概念，判断两函数是否相等的方法：看定义域和对应法则是否都相同．
3.【答案】A
【解析】
解：函数y=ex-e-x=，
由于函数为增函数，故也为增函数，
故：函数y=ex-e-x为增函数，
故选：A．
直接利用函数的性质：单调性求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象和函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】
解：∵函数f（x）=3x+3x-8在R上为连续增函数，
又由f（1）=3+3-8＜0，f（2）=9+6-8=7＞0，
函数f（x）=3x+3x-8的零点所在的区间为（1，2），
故选：B．
连续函数f（x）=3x+3x-8在R上单调递增且f（1）＜0，f（2）＞0，根据函数的零点的判定定理可求．
本题主要考查了函数零点的定义及零点判定定理的应用，属于基础试题．
5.【答案】C
【解析】
解：∵不共线，且；
∴存在 ，使；
即；
∴；
解得．
故选：C．
根据不共线，以及，即可得出：存在 ，使得，从而得出，从而得出，解出λ即可．
考查共面向量基本定理，和共线向量基本定理．
6.【答案】C
【解析】
解：∵y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt）=3sin（100πt+）
∴利用函数的性质可得函数的振幅为：3．
故选：C．
由两角和的正弦函数公式先求得函数解析式，直接利用函数的性质，求出函数的振幅即可．
本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】
解：sin66°=m=cos24°=2cos212°-1，则cos12°=，
故选：C．
由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得cos12°的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：根据题意，若=（2，2），
则=2+2=2（+），
则 2=4（2+2•+2）=12，
则 =2；
故选：B．
根据题意，由题目中向量坐标的定义可得=2+2=2（+），由数量积的计算公式可得 2=4（2+2•+2）=12，变形即可得答案．
本题考查向量的坐标表示以及向量模的计算，注意向量坐标表示的定义，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
解：在△ABC中，∵sinBsinC=cos2=，
∴2sinBsinC=-cosBcosC+sinBsinC+1，
∴cosBcosC+sinBsinC=cos（B-C）=1，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，B=C．
故选：C．
利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出．
本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】
解：∵log2x=log3y=log5 ＞0，
∴设log2x=log3y=log5 =t，t＞0，
则x=2t，y=3t， =5t，
∴==，
==，
==，
∵（ ）10=25t
（）10=32t
∴＜．
又（）6=9t，（）6=8t
∴＜
∴＜．
故选：D．
设log2x=log3y=log5 =t，t＞0，则x=2t，y=3t， =5t，由此能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的部分图象如图所示其最小值为ω-1=0，∴ω=1，
∴函数f（x）=cos（x-）+1．
故函数f（x）的图象关于直线x=对称，故有f（）=f（+x）成立，故A对．
∴f（x）+f（）=cos（x-）+1+cos（-x-）+1=cos（x-）+2+sinx，故B不对．
故有f（）=1，故C对．
∴MN====π，故D对，
故选：B．
根据函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的最值ω-1，求得ω的值，可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数f（x）=cos（ωx-）+ω（ω＞0）的最值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】
解：根据题意，函数g（x）=f（x）-log5x，
若g（x）=f（x）-log5x=0，则有f（x）=log5x，
分别作出函数y=f（x）与y=log5x的图象，
分析可得：两个函数图象有5个交点，则函数y=g（x）的零点个数为5，
故选：C．
根据题意，分析可得若g（x）=f（x）-log5x=0，则有f（x）=log5x，分别作出函数y=f（x）与y=log5x的图象，分析两个函数图象的交点，结合函数零点的定义分析可得答案．
本题考查函数零点的判断方法，注意将函数零点转化为两个函数的交点问题．
13.【答案】D
【解析】
解：当x∈[0，2 时，f（x）=2 x-1 -1，函数y=f（x）的周期为2，可作出函数f（x）的图象；
图象关于y轴对称的偶函数y=log3 x 向右平移2个单位得到函数y=log3 x-2 ，
则y=h（x）=log3 x-2 关于x=2对称，可作出函数的图象如图所示；
函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，
当x＞5时，y=log3 x-2 ＞1，此时函数图象无交点，
又两函数在[2，5 上有3个交点，由对称性知，
它们在[-1，2 上也有3个交点，且它们关于直线x=2对称，
所以函数y=g（x）的所有零点之和为
3×4=12．
故选：D．
分别作出函数y=f（x）、y=h（x）=log5 x-1 的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．
本题考查函数的零点应用问题，也考查了数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是解题的关键．
14.【答案】-34
【解析】
解：根据题意，函数f（x）=，
则f（3）=-log2（3+1）=-2，
f（f（3））=2-2-1=-1=-；
故答案为：-．
根据题意，由函数的解析式计算可得f（3）的值，进而计算f（f（3））即可得答案．
本题考查分段函数的求值，关键是掌握分段函数的形式，属于基础题．
15.【答案】3sin（2x-π6）+1
【解析】
解：将函数y=3sin（2x+）图象向右平移个单位，
向上平移1个单位后得到函数y=f（x）=3sin（2x-+）+1=3sin（2x-）+1的图象，
故答案为：3sin（2x-）+1．
由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
16.【答案】-3
【解析】
解：已知tanθ=-2，
由===．
故答案为：-3．
利用弦化切，和正弦的和与差化简即可．
本题主要考察了同角三角函数关系式和正弦的和与差化的应用，属于基本知识的考查．
17.【答案】1
【解析】
解：根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2-4，
当x＜-2时，g（x）＞0，当-2＜x＜2时，g（x）＜0，
又由（ax+2）（x2-4）≤0，
则当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜2时，f（x）＞0，
而f（x）=ax+2为一次函数，则f（-2）=a×（-2）+2=0，
解可得a=1；
故答案为：1．
根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2-4，分析g（x）的符号，进而可得当x＜-2时，f（x）＜0，当-2＜x＜2时，f（x）＞0，结合一次函数的性质分析可得f（-2）=a×（-2）+2=0，解可得a的值，即可得答案．
本题考查不等式恒成立问题，注意分析（ax+2）的符号，属于基础题．
18.【答案】-1
【解析】
解：根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2+2b，
当b≥0时，g（x）=x2+2b≥0，而f（x）=ax+2≤0不可能在（-∞，0 上恒成立，
必有b＜0，
对于g（x）=x2+2b，b＜0，
在（-∞，-），g（x）＞0，在（-，0），g（x）＜0；
若（ax+2）（x2+2b）≤0，
则对于f（x）=ax+2，在（-∞，-），f（x）＜0，在（-，0），f（x）＞0；
而f（x）为一次函数，则必有f（-）=（-a）×+2=0，且a＞0，
变形可得：a2（-b）=2，
又由a，b∈ ，则a=1，b=-2；
故a+b=-1；
故答案为：-1．
根据题意，设f（x）=ax+2，g（x）=x2+2b，分析可得b＜0，结合二次函数的性质分析可得在（-∞，-），g（x）＞0，在（-，0），g（x）＜0；又由（ax+2）（x2+2b）≤0，分析可得对于f（x）=ax+2，在（-∞，-），f（x）＜0，在（-，0），f（x）＞0；进而可得有f（-）=（-a）×+2=0，结合a，b∈ ，分析可得答案．
本题考查不等式的恒成立问题，涉及一次函数、二次函数的性质，属于综合题．
19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=3x+12x-1．
∴f（13）=3×13+12×13-1=-6，
f（23）=3×23+12×23-1=9，
f（14）=3×14+12×14-1=-72，
f（34）=3×34+12×34-1=132．
（Ⅱ）当a≠12时，f（a）+f（1-a）=3．
证明：当a≠12时，
f（a）+f（1-a）=3a+12a-1+3(1-a)+12(1-a)-1=3a+12a-1+3a-42a-1=6a-32a-1=3．
∴当a≠12时，f（a）+f（1-a）=3．
【解析】

（Ⅰ）由函数f（x）=，能求出f（），f（），f（），f（）的值．
（Ⅱ）当a时，f（a）+f（1-a）=+==3．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20.【答案】解：（Ⅰ）由已知，f（x）=a⋅b=2sin2x-3=1-cos2x-3=-cos2x-2；……（4分）
又T=2π ω =π，
∴f（x）的最小正周期为π；……（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=-cos2x-2，
当2x=2 π+π， ∈ 时，cos2x=-1，
∴f（x）的最小值为-1，……（8分）
此时x= π+π2， ∈ ；……（10分）
所以当x= π+π2， ∈ 时，f（x）取得最小值为-1．……（12分）
【解析】

（Ⅰ）由平面向量的数量积求出f（x）并化简，再求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用三角函数的图象与性质，求出f（x）取最小值时x的值即可．
本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．
21.【答案】解：依题意，可令T0=195，T=105，Ta=75，t=20，
代入式子得：105-75=(195-75)(12)20h，
解得h=10，
又若T=95代入式子得95-75=(195-75)(12)t10，
则(12)t10=16，
∴t=log1216=10log26=10(log33+1)=10(lg3lg2+1)=10(0.47710.3010+1)≈25.9，
答：降温到95F约需要25.9分钟．
【解析】

求解就可得到半衰期h的值．再利用公式中，T=95，半衰期h的值，代入就可解出此时需要多少分钟．
本题考查了指数函数的综合题，通过研究指数函数的性质解释实际问题．我们要掌握底数 两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=3cos2ωx+sinωxcosωx-32=32(1+cos2ωx)+12sin2ωx-32
=32cos2ωx+12sin2ωx=sin(2ωx+π3)，
因为周期为2π2ω=π，所以ω=1，故f(x)=sin(2x+π3)．
由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[π12+kπ，7π12+kπ ，k∈Z．
（Ⅱ）f(x)＞22，即sin(2x+π3)＞22，
由正弦函数得性质得π4+2kπ＜2x+π3＜3π4+2kπ，k∈Z，
解得-π12+2kπ＜2x＜5π12+2kπ，所以-π24+kπ＜x＜5π24+kπ，k∈Z，
则x取值的集合为{x -π24+kπ＜x＜5π24+kπ，k∈Z}．
【解析】

（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，从而确定f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的图象和性质，求出f（x）＞的解集．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
23.【答案】解：（Ⅰ）若x=14，P（1，1），A（14，0），B（0，y）（y＞0），
可得PB=（-1，y-1），AB=（-14，y），
由PB⊥AB，可得PB•AB=14+y2-y=0，
解得y=12；
（Ⅱ）若△OAB的周长为2，
即为x+y+x2+y2=2，
即有2-x-y=x2+y2，
平方可得4-4x-4y+2xy=0，
即1-x-y=-12xy，
又PA=（x-1，-1），PB=（-1，y-1），
PA•PB=1-x+1-y=2-x-y=x2+y2，
PA • PB =1+(x-1)2•1+(y-1)2
=(xy)2-2x2y+2x2-2xy2+4xy-4x+2y2-4y+4
=(xy)2-2x2y-2xy2+2xy+2x2+2y2
=(xy)2+2xy(1-x-y)+2(x2+y2)
=(xy)2+2xy⋅(-12xy)+2(x2+y2)=2•x2+y2，
则cos＜PA，PB＞=PA⋅PB PA ⋅ PB =22，
由0≤＜PA，PB＞≤π，
可得向量PA与PB的夹角为π4．
【解析】

（Ⅰ）分别求得A，，的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得y的值；
（Ⅱ）由题意可得x+y+=2，移项平方，计算向量与的数量积，以及模的乘积，再由向量夹角公式，即可得到所求角．
本题考查向量的数量积的性质和夹角的大小，注意运用向量垂直的条件：数量积为0，以及化简整理的变形能力，属于中档题．
24.【答案】解：（Ⅰ）存在，m=±1，
理由如下：∵f（x）=ln（x2+1+mx），
∴f（-x）=ln（x2+1-mx），
∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即ln（x2+1-mx）=-ln（x2+1+mx），
即ln（（1-m2）x2+1）=0恒成立，
∴m=±1，
检验：当m=±1时，f（x）是奇函数，
（Ⅱ）由题意得：当x＞0时，ln（x2+1+mx）＞lnx+1m+32，
即ln（1+1x2+m）＞1m+32，
y=ln（1+1x2+m）单调递减，
∴ln（1+1x2+m）＞ln（1+m），
即只要ln（1+m）＞1m+32，
令g（t）=ln（1+t）-1t，则g（t）在（0，+∞）上单调递增，
当m=1时，ln2＞1+32不成立，
当m=2时，ln3＞12+32不成立，
当m=3时，ln4＞13+32不成立，
当m=4时，ln5＞14+32不成立，
当m=5时，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞15+32=1.7成立，
故正整数m的最小值是5
【解析】

（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出m的值，
（Ⅱ）问题转化为ln（1+m）＞+，令g（t）=ln（1+t）-，则g（t）在（0，+∞）上单调递增，代值验证即可
本题考查了奇函数的性质和不等式恒成立的问题，考查了转化思想和运算能力，属于中档题