人教版高数选修2-2第3讲：函数的单调性与导数(学生版)—东直门仉长娜.doc

导数与函数的单调性

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一、函数的单调性与导数：
1． 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像
可以看到：

在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数

y=f(x)=x2－4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2，+∞)
增函数
正
＞0
(－∞，2)
减函数
负
＜0

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f ¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．

类型一：函数的单调性与导数：
例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数

例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．

例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．

练习：
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3

例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．

例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。

练习：
1．求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x

1.函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（　　）
A.0<a< B.a<-1或a> C.a> D.a>-2
2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4
3．函数f(x)＝x＋的单调区间为________．
4 函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________
5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
6．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．
7．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
8.已知x∈R,求证：ex≥x+1．

9． 已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.

10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．

11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.

13．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．

14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。

15．已知函数f(x)＝，求导函数f ′(x)，并确定f(x)的单调区间．

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基础巩固
一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)> 0，则x<0时(　　)
A．f ′(x)>0，g′(x)>0 B．f ′(x)>0，g′(x)<0
C．f ′(x)<0，g′(x)>0 D．f ′(x)<0，g′(x)<0
4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)

6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f ′(x)满足f ′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)
A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)
C．f(2)<e2f(0)，f(2012)<e2012f(0) D．f(2)>e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)
二、填空题
7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
9．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________．
三、解答题
10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．

能力提升
一、选择题
11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
12．(2014·北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f ′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是(　　)
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋
A．2 B．3
C．4 D．5
13．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
14．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)

二、填空题
15．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a，a](a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0<x<a时，有f′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．
三、解答题
16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．

17．(2014·山师附中学分认定考试)已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．

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