高等数学(下)高等数学(下)教学大纲2.1教学大纲.doc

《高等数学（下）》
课程教学大纲

课程编号：06066
制定单位：统计学院
制 定 人（执笔人）：陈孝新
审 核 人：徐慧值
制定（或修订）时间：2012年9月６日

江西财经大学教务处
《高等数学下》（公共）课程教学大纲
一、 课程总述
本课程大纲是以2012年统计学专业本科专业人才培养方案为依据编制的。
课程名称
高等数学（下）
课程代码
06016
英文名称
Advanced Mathematics
开课阶段
第二阶段
课程性质
学科基础课
先修课程
高等数学（上）
总学时数
96
周学时数
6
开课院系
统计学院
任课教师
高等数学课程组
编 写 人
陈孝新
编写时间
2012年9月
课程负责人
陈孝新
大纲主审人
徐慧值
使用教材
同济大学数学系：《高等数学》，高等教育出版社，2007年第六版
教学
参考资料
刘明华，周晖杰，徐海勇：《高等数学同步辅导》，浙江大学出版社，2008年
James Stewart：《Calculus》(Fifth Edition)，高等教育出版社，2004年
徐安农：《Mathematica 数学实验》，电子工业出版社，2004年
课程
教学目的
通过本课程的教学，使学生掌握一元函数积分、空间解析几何、级数、微分方程的基本知识和基本理论。通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础。
课程
教学要求
1. 正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：
不定积分、定积分、微元法、向量、级数、幂级数、傅立叶级数、微分方程, 向量，偏导数，全微分，条件极值，重积分，曲线积分，曲面积分；
2．正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：
微积分基本定理，定积分的换元法和分布积分法，定积分作为其上限函数的求导定理，级数收敛判别定理，泰勒展开公式，全微分解微分方程公式, 泰勒定理，定积分作为其上限函数的求导定理，格林公式，高斯公式；
3. 熟练运用下列法则和方法：
定积分的换元法和分布积分法，定积分作为其上限函数的求导法，级数收敛的比较判别法、极限判别法、比值判别法、根植判别法，解微分方程的分离变量法、常数变易法、全微分法, 偏导数的四则运算法则和复合函数的求导法，换元积分法和分部积分法，二重积分的计算法；
4. 会运用微元法与微积分以及常微分方程的方法解一些简单的几何、物理和力学问题。
本课程的重点和难点
重点：定积分的概念、计算、应用；级数收敛判别定理，泰勒展开公式；解微分方程的分离变量法、常数变易法、全微分法；向量和仿射坐标系等基本概念与基本理论。向量和仿射坐标系等基本概念与基本理论，空间的直线、平面和曲面几何图形的方程的建立；多元函数微分、积分的基本知识和基本理论.
难点：定积分的应用；级数一致收敛判别法，泰勒展开公式；解微分方程的常数变易法、全微分法；把空间的几何结构代数化。把空间的几何结构代数化，曲线积分，曲面积分。
课程考试
本课程采取闭卷考试方式，一般平时成绩占总成绩的20%，期末考试占总成绩的80%。成绩评定按百分制，60分为及格。
二、 教学时数分配
章目
教学内容
教学时数分配
课堂讲授
习题课
五
定积分
10
2
六
定积分的应用
5

七
微分方程
12
2
八
空间解析几何与向量代数
10

九
多元函数微分法及其应用
12
2
十
重积分
7
2
十一
曲线积分与曲面积分
12
2
十二
无穷级数
14
2

复习
2

84
12

合      计
96

三、单元教学目的、教学重难点和内容设置

第五章 　定积分（讲授10学时，习题课2学时）
【教学目的】
1. 理解定积分的概念。
2. 理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握变上限定积分求导，掌握牛顿－莱布尼茨公式。
3. 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
4. 了解反常积分的概念，会判断反常积分的敛散性，并会计算反常积分；了解定积分的近似计算法。
【重点难点】
重点：定积分的概念，定积分的性质及定积分中值定理，变上限定积分求导，牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法。
难点：反常积分的概念，判断反常积分的敛散性，计算反常积分。
【教学内容】
第一节 定积分的概念与性质
1.1 定积分的问题举例
1.2 定积分的定义
1.3 定积分的近似计算
1.4 定积分的性质
第二节 微积分基本公式
2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
2.2 积分上限的函数及其导数
2.3 牛顿－莱布尼茨公式
第三节 定积分的换元积分法与分部积分法
3.1定积分的换元积分法
3.2 定积分的分部积分法
第四节 反常积分
4.1 无穷限的反常积分
4.2 无界函数的反常积分
*第五节 反常积分的审敛法　函数
5.1 无穷限的反常积分审敛法 
5.2 无界函数的反常积分审敛法 
5.3 函数
第六章 　定积分的应用（讲授5学时，习题课0学时）
【教学目的】
1. 理解定积分的元素法的概念。
2. 掌握在直角坐标系与极坐标系中表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长。
3. 掌握用定积分表达和计算旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
4. 掌握用定积分表达和计算变力作功、引力、压力及函数的平均值等。
【重点难点】
重点：定积分的元素法, 定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、平行截面面积为已知的立体体积；定积分表达和计算变力作功、引力、压力。
难点: 定积分表达和计算旋转体的体积及侧面积，柱壳法。
【教学内容】
第一节 定积分的元素法
第二节 定积分在几何上的应用
2.1 平面图形的面积
2.2体积
2.3平面曲线的弧长
第三节 定积分在物理学上的应用
3.1 变力沿直线所作的功
3.2 水压力
3.3 引力
第七章　 微分方程（讲授12学时，习题课2学时）
【教学目的】
1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。
2. 掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3. 会解齐次方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4. 会用降阶法解、和型微分方程。
5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7. 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8. 了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会解包含两个未知数的一阶常系数线性微分方程组。
9. 会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。
【重点难点】
重点：微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念，可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法，齐次方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，常数变易法。
难点：变量代换解微分方程，欧拉方程，幂级数解法，降阶法。
【教学内容】
第一节 微分方程的基本概念
第二阶 可分离变量的微分方程
第三节 齐次方程
3.1 齐次方程
*3.2 可化为齐次的方程
第四节 一阶线性微分方程
4.1 线性方程
*4.2 伯努利方程
第五节 可降阶的高阶微分方程
5.1 型的微分方程
5.2 型的微分方程
5.3 型的微分方程
第六节 高阶线性微分方程
6.1 二阶线性微分方程举例
6.2 线性微分方程的解的结构
*6.3 常数变易法
第七节 常系数齐次线性微分方程
第八节 常系数非齐次线性微分方程
8.1 型
8.2 型
*第九节 欧拉方程
*第十节 常系数线性微分方程组解法举例
第八章 空间解析几何与向量代数 (讲课10学时)
【教学目的】
1.  理解空间直角坐标系的概念，理解向量的概念及其表示。
2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、*混合积），了解两个向量平行、垂直的条件。
3. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标的表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
4. 掌握曲面的概念以及柱面、旋转曲面的方程。
5. 理解空间曲线、平面、空间直线的有关概念。
6. 掌握空间曲线、平面、空间直线的各种形式的方程。
7. 利用空间曲线、平面、空间直线的各种形式的方程来解决一些几何问题。
【重点难点】
重点：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、数量积、向量积），单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法，曲面方程的概念。空间曲线、平面和空间直线方程，两平面的夹角。
难点：向量积，曲面的概念以及柱面、旋转曲面的方程。空间曲线、平面和空间直线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影。
【教学内容】
第一节 向量及其线性运算
1.1 向量的概念
1.2向量的线性运算
1.3空间直角坐标系
1.4 利用坐标作向量的线性运算
1.5向量的模、方向角、投影
第二节 数量积 向量积 混合积
2.1 两向量的数量积
2.2 两向量的向量积
*2.3 两向量的混合积
第三节　曲面及其方程
3.1 曲面方程的概念
3.2 旋转曲面
3.3 柱面
3.4 二次曲面
第四节 空间曲线及其方程
4.1 空间曲线的一般方程
4.2 空间曲线的参数方程
4.3 空间曲线在坐标面上的投影
第五节 平面及其方程
5.1 平面的点法式方程
5.2 平面的一般方程
5.3 两平面的夹角
　　第六节　空间直线及其方程
　　 6.1 空间直线的一般方程
6.2 空间直线的对称式与参数方程
6.3 两直线的夹角
6.4 直线与平面的夹角
6.5 杂例
第九章 多元函数微分法及其应用（讲授12学时，习题课2学时）
【教学目的】
1. 深刻理解多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，多元函数极值和条件极值的概念。
2. 能熟练计算复合函数的高阶偏导数、隐函数的偏导数，求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，求条件极值的拉格朗日乘数法。
【重点难点】
重点：多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，复合函数—阶偏导数的求法，多元函数极值和条件极值的概念。
难点：复合函数的高阶偏导数，隐函数的偏导数，求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，求条件极值的拉格朗日乘数法。
【教学内容】
第一节 多元函数的基本概念
1.1 平面点集 * n维空间
1.2 多元函数的概念
1.3多元函数的极限
1.4多元函数的连续性
第二节 偏导数
2.1 偏导数的定义及计算法
2.2 高阶偏导数
第三节 全微分
3.1 全微分的定义
*3.2 全微分在近似计算中的应用
第四节　多元复合函数的求导法则
第五节　隐函数的求导公式
5.1 一个方程的情形
5.2 两个方程的情形
第六节　多元函数微分学的几何应用
6.1 空间曲线的切线和法平面
6.2 曲面的切平面和法线
第七节　方向导数与梯度
7.1 方向导数
7.2 梯度
第八节　多元函数的极值及其求法
8.1 多元函数的极值及最大值、最小值
8.2 条件极值 拉格朗日乘数法
第十章 重积分（讲授7学时，习题课2学时）
【教学目的】
1. 理解二重积分、三重积分的概念。
2. 掌握二重积分、三重积分的计算及其应用。
【重点难点】
重点：二重积分、三重积分的概念，二重积分的计算。
难点：二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标、换元法）， 三重积分的计算方法。
【教学内容】
第一节 二重积分的概念与性质
1.1 二重积分的概念
1.2 二重积分的性质
第二节 二重积分的计算法
2.1 利用直角坐标系计算二重积分
2.2 利用极坐标系计算二重积分
2.3 二重积分的换元法
第三节 三重积分
3.1 三重积分的概念
3.2 三重积分的计算
第四节 重积分的应用
4.1 曲面的面积
4.2 质心
4.3 转动惯量
4.4 引力
第十一章 曲线积分与曲面积分（讲授12学时，习题课2学时）
【教学目的】
1. 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的概念。
2. 掌握格林公式，高斯公式, 斯托克斯公式。
【重点难点】
重点：两类曲线积分和两类曲面积分的概念，格林公式，高斯公式。
难点：格林公式，高斯公式。
【教学内容】
第一节 对弧长的曲线积分
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
1.2 对弧长的曲线积分的计算法
第二节 对坐标的曲线积分
2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质
2.2 对坐标的曲线积分的计算法
2.3 两类曲线积分之间的联系
第三节 格林公式及其应用
3.1 格林公式
3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件
3.3 二元函数的全微分求积
第四节 对面积的曲面积分
4.1 对面积的曲面积分的概念与性质
4.2 对面积的曲面积分的计算法
第五节 对坐标的曲面积分
5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质
5.2 对坐标的曲面积分的计算法
5.3 两类曲面积分之间的联系
第六节  高斯公式 通量与散度
6.1 高斯公式
*6.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
*6.3 通量与散度
第七节  斯托克斯公式 环流量与旋度
7.1 斯托克斯公式
*7.2 空间曲线积与路径无关的条件
*7.3 环流量与旋度
第十二章 　无穷级数 (讲课14学时，习题课2学时)
【教学目的】
1. 理解常数项级数及其收敛、发散及其收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2. 掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。
3. 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。
4. 掌握交错级数的莱布尼茨定理。
5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判断级数条件收敛或绝对收敛。
6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。掌握
、、、的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。
10. 了解傅立叶级数的概念和函数展开成傅立叶级数的狄利克蕾定理；会将定义在 上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦级数，会写出傅立叶级数的和的表达式。
【重点难点】
重点：几何级数与级数的收敛与发散的条件，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数的莱布尼茨定理，任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念和判别法，幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，函数展开为泰勒级数，傅立叶级数的概念和函数展开成傅立叶级数。
难点：任意项级数绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域及和函数，函数展开成傅立叶级数。
【教学内容】
第一节 常数项级数的概念和性质
1.1 常数项级数的概念
1.2 收敛级数的基本性质
*1.3 柯西审敛原理
第二阶 常数项级数的审敛法
2.1 正项级数及其审敛法
2.2交错级数及其审敛法
2.3 绝对收敛与条件收敛
*2.4 绝对收敛级数的性质
第三节 幂级数
3.1 函数项级数的概念
3.2 幂级数及其收敛性
3.3 幂级数的运算
第四节 函数展开为幂级数
第五节 函数的幂级数展开式的应用
5.1 近似计算
5.2 微分方程的幂级数解法
5.3 欧拉公式
*第六节 函数项级数的一致收敛的概念及其性质
6.1 函数项级数的一致收敛性
6.2 一致收敛的基本性质
第七节 傅立叶级数
7.1 三角级数 三角函数系的正交性
7.2 函数展开成傅立叶级数
7.3 正弦级数和余弦级数
第八节 一般周期函数的傅立叶级数
8.1 周期为2的周期函数的傅立叶级数
*8.2傅立叶级数的复数形式
注：*为可选讲内容。
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