2学年高二人教版数学选修1-1练习:3.1变化率与导数-Word版含答案.docx
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1、基础梳理1平均变化率如果某个问题中的函数关系用f(x)表示,那么问题的平均变化率可用式子表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,简记为(这里的xx2x1,可以是正也可以是负)注:几何意义:两点(x1,f(x1),(x2,f(x2) 连线的斜率(割线的斜率);平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度2瞬时速度和瞬时加速度(1)平均速度: 物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率:(3)瞬时速度:当t无限趋近于0时,无限趋近于一个常数,这个常数称为tt0时的瞬时速度(4)速度的平均变化率:.(5
2、)瞬时加速度:当t无限趋近于0时,无限趋近于一个常数,这个常数称为tt0时的瞬时加速度注:瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率,感受速度的平均变化率与加速度的关系,以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系3导数(1)导数的概念设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),若x无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称f(x)在xx0处可导,并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数,记作f(x0)(2)导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义就是曲线在该点处的切线的斜率k,即klim_f(x0)(3)导函数如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每一点都有导
3、数f(x),当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称f(x)为f(x)的导函数,记作f(x)或y,即f(x)ylim_(4)求导数的步骤求函数的增量:yf(x2)f(x1);求平均变化率:;取极限,得导数:f(x0)lim_lim_上述求导方法可简记为:一差、二化、三极限自测自评1已知函数yf(x)x21,则当x2,x0.1时,y的值为(B)A0.40B0.41C0.43D0.44解析:yf(20.1)f(2)(2.121)(221)0.41.2一物体的运动方程是S3t2,则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为(D)A0.41B3C4D4.1解析:4.1.3设f(x0)0,则曲线yf(
4、x)在点(x0,f(x0)处的切线(B)A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴斜交1设函数yf(x),当自变量x由x0改变到x0x时,函数的改变量y为(D)Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)2已知曲线y2x3上一点A(1,2),则点A处的切线斜率是(D)A0 B2C4 D6解析:依题意得,ky|x16.3曲线y4xx3在点(1,3)处的切线方程是_解析:f(1)lim lim 4.当x1时,切线的斜率kf(1)1.利用点斜式可得切线方程为:y3x1,即yx2.答案:yx2.4比较函数f(x)2x与g(x)3x,当x1,2时,平均增长率的大小解析:设f
5、(x)2x在x1,2时的平均变化率为k1,则k12,设g(x)3x在x1,2时的平均变化率为k2,则k26,k1k2,故当x1,2时,g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率5已知曲线y2x2上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程解析:因为f(1)lim 4,所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k,则4k1,k.所以所求的直线方程为y2(x1),即x4y90.1在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量x(D)A大于0 B小于0C等于0 D不等于02一辆汽车在起步的前10秒内,按s3t21做直线运动,则在2t3这段时间内
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