六年级数学工程问题(附例题答案).doc
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1、第七讲工程问题第七讲工程问题一、知识要点在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率工作时间.在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子:一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位,因此甲的工作效率是,乙的工作效率是,我们想求两人合作所需时间,就要先求两人合作的工作效率,再根据基本
2、数量关系式,得到所需时间=工作量工作效率 =6(天).两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),可把工作量多设份额.如上题,10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份.两人合作所需天数是30(3+ 2)= 6(天)实际上我们把这个算式,先用30乘了一下,都变成整数计算,就方便些.10天与15天,体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是1510=32.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也是
3、非常实用的.根据,两人合作时,甲应完成全部工作的,所需时间是(天).因此,在下面例题的讲述中,我们可以采用 “把工作量设为整体1”的做法,也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等,这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例1. 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?解析:甲的工效:191/9 乙的工效:161/6 甲三天做了的:1/9 31/3 余下的工作:1 1/3 2/3 乙需做的天数:2/3 1/64(天)例2. 有一工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做30天完成,甲、乙两队合做8天后,余下
4、的由丙队做,又做了6天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成?解析:1-(1/24+1/30)8=2/5 62/5=15天例3. 某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成,若由甲乙两人合作,需48天完成,现在甲先单独做42天,然后由乙来单独完成,那么还需要多少天?解析:某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天,甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84,乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天,然后由乙接着做,还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天另一个方法:令甲每天做工程的百分比为x,乙每天做工
5、程的百分比为y则63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112若甲独做42天,则完成工程的42/84,即1/2,剩下1/2由乙完成,需要1/21/112=56天例4. 一项工程,甲乙两人合作4天后,再由乙单独做5天完成,已知甲比乙每天多完成这项工程的,甲乙单独做这项工程各需要多少天?甲单独做需X天,乙单独做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲单独做需10天,乙单独做需15天设甲单独做需X天,那么甲平均每天完成工程的1/X;因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一,就是说,乙平均每天完成1/X-1/30;按照已知条
6、件,甲乙合作4天,4/X+4*(1/x-1/30),随后,乙单独做了5天,5*(1/x-1/30),加在一起,完成了这项工程,即,4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10-1/30=1/15,即,乙单独做需15天例5. 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间:7/201/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天例6.
7、 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?解析1:先让张某单独完成乙,李某单独完成甲。乙还剩1-8/15=7/15两人合作时间为:7/15/(1/15+1/20)=4 所以至少要工作:8+4=12(天)解析2:小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要:(1-8/15)(1/15+1/20)+8=12天例7. 甲、乙合做一件工作要15天才能完成,现在甲、乙合做10天后,再由乙独做6天,还剩下这件工作的1/10,甲单独完
8、成这件工作要多少天?解析:甲乙合作10天,完成了:101/152/3 乙独做6天完成了:12/31/107/30 乙每天完成:7/3067/180 甲独做需要:1(1/157/180)36(天)例8. 一项工程甲队单独做15天可以完成,乙队独坐10天可以完成。现在开始两队合作,但中间乙队因另有任务调走,从开始到完成任务,甲队工作了9天,乙队比甲队少工作了多少天?解析:甲独做一天的工效为1/15,乙独做一天的工效为1/10。合做分想:这项工程甲做了9天,剩下的都是由乙队完成的。可以用工作总量减去甲队9天的工作量,求出乙队工作量,再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间:(11/159)1/10
9、4(天)。所以乙队比甲队少工作天数为:945例9. 甲、乙合做一件工作,合作8天后,乙又独做5天,还剩下这件工作的1/6。已知乙单独完成这件工作要30天,那么甲单独完成这件工作要多少天?解析:1-1/30(8+5)-1/6=12/30=2/5 2/58=1/20 所以需要20天例10. 甲、乙合做一件工作,每天能完成全部工作的1/12,甲单独做6天,乙又单独做10天后,还剩下全部工作的11/30没有完成,甲单独完成全部工作要多少天?解析:6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11.一项工程,甲单独完成需1
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