点线面关系知识总结和练习题(有答案).doc

点线面位置关系总复习

l 知识梳理

一、直线与平面平行
1.判定方法
（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理：

（3）其他方法：
2.性质定理：

二、平面与平面平行
1.判定方法
（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：
（3）其他方法： ;
2.性质定理：

三、直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法
① 用定义.
② 判定定理:
③ 推论:
（3）性质
① ②

四、平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理
（3）性质
①性质定理
②
④

l “转化思想”

面面平行 线面平行 线线平行
面面垂直 线面垂直 线线垂直

l 求二面角
1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.
2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角

例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA^底面ABC，AB^BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。

l 求线面夹角
定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

例1：在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．

例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；
②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；
③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；
⑤ BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；
⑥ BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

例3：已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．

l 求线线距离
说明：求异面直线距离的方法有：
(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．
(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线、距离，先作出过且平行于的平面，则与距离就是、距离．（线面转化法）．
也可以转化为过平行的平面和过平行于的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．
(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．
(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．
两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．

例：在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离。

l 线面平行（包括线面距离）
例：已知点是正三角形所在平面外的一点，且，为上的高，、、分别是、、的中点，试判断与平面内的位置关系，并给予证明

l 面面平行（包括面面距离）
例1：已知正方体 ，求证

例2：在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离．

l 面面垂直
例1：已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC^平面PBD。

例2：已知直线PA垂直于€O所在的平面，A为垂足，AB为€O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC^平面PBC。

l 课后作业：
一、选择题
1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线(　　)
A.平行　　　　　　　　 B.相交
C.异面 D.垂直
2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC(　　)
A.是非等腰的直角三角形
B.是等腰直角三角形
C.是等边三角形
D.不是A、B、C所述的三角形
4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为 (　　)
A.　　　　B. C.1　　　D.
5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么(　　)
A.PA＝PB>PC
B.PA＝PB<PC
C.PA＝PB＝PC
D.PA≠PB≠PC

二、填空题：
6. 正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为　　　　.
7. α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　　　.

三、解答题
11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，如图(2)，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.

(1)求证：AE⊥BD；
(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；
(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.

12.

12.如图所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1).
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

13.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.

(1)求证：DP⊥平面EPC；
(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出的值.

参考答案

l 求二面角
分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.
解：

在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，
∴∠ECA=30°，
在RtΔDEC中，∠DEC=90°，
∴∠EDC=60°，
∴ 所求的二面角为60°。

l 求线线距离
解法1：（直接法）如图：

取的中点，连结、分别交、于、两点，
易证：，，．
∴为异面直线与的公垂线段，易证：．
小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．
解法2：（转化法）如图：

∵平面，
∴与的距离等于与平面的距离，
在中，作斜边上的高，则长为所求距离，
∵，，
∴，∴．
小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．

解法3：（转化法）如图：

∵平面平面，
∴与的距离等于平面与平面的距离．
∵平面，且被平面和平面三等分；
∴所求距离为．
小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．
解法4：（构造函数法）如图：

任取点，作于点，作于点，设，
则，，且
∴．
则
，
故的最小值，即与的距离等于．
小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．
解法5：（体积桥法）如图：

当求与的距离转化为求与平面的距离后，设点到平面的距离为，
则．
∵，
∴．即与的距离等于．
小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．

l 线面平行
例：
分析1：如图，观察图形，即可判定平面，要证明结论成立，只需证明与平面内的一条直线平行．
观察图形可以看出：连结与相交于，连结，就是适合题意的直线．
怎样证明？只需证明是的中点．
证法1：连结交于点，
∵是的中位线，
∴．
在中，是的中点，且，
∴为的中点．
∵是的中位线，∴．
又平面，平面，
∴平面．
分析2：要证明平面，只需证明平面平面，要证明平面平面，只需证明，而，可由题设直接推出．
证法2：∵为的中位线，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
同理：平面，，
∴平面平面，又∵平面，
∴平面．

l 面面平行
例一：
证明：∵为正方体，
∴， 
又 平面，
故 平面．
同理 平面．
又 ，
∴ 平面平面．

例二：
根据正方体的性质，易证：

连结，分别交平面和平面于和
因为和分别是平面的垂线和斜线，在平面内，
由三垂线定理：，同理：
∴平面，同理可证：平面
∴平面和平面间的距离为线段长度．
如图所示：

在对角面中，为的中点，为的中点
∴．
∴和的距离等于两平行平面和的距离为．
l 面面垂直

例1：

例2：

作业：
一、选择题：
1. D 2. C 3. C 4. B 5. C

6.解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，

∴GH⊥平面ABCD，
∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，
故点P的轨迹是△EFG，
其周长为＋.
答案：＋
7. ①③④⇒②；②③④⇒①