广义逆矩阵.pptx
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1、第七章第七章 广义逆矩阵广义逆矩阵 广义逆矩阵是逆矩阵的推广,与线性方程组的求解有密切广义逆矩阵是逆矩阵的推广,与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组联系。给定一个线性方程组 Ax=b,当矩阵当矩阵A可逆时,线性可逆时,线性方程组的解可表示为方程组的解可表示为x=A-1 b当矩阵当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时,线性方程组的解应如何表是奇异矩阵或不是方阵时,线性方程组的解应如何表示呢?当线性方程组是矛盾方程,或者说是不相容方程时,线示呢?当线性方程组是矛盾方程,或者说是不相容方程时,线性方程组能否有其它意义下的解,这种解又应当如何表示呢?性方程组能否有其它意义下的解,这种解又应当如何表
2、示呢?把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上,这就是所谓的把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上,这就是所谓的广义逆矩阵。广义逆矩阵。广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质,并且在方阵可逆广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质,并且在方阵可逆时,它与通常的逆矩阵一致,而且广义逆矩阵可以给出线性时,它与通常的逆矩阵一致,而且广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾方程组)各种解的统一形式。方程组(包括相容的和矛盾方程组)各种解的统一形式。主要内容主要内容:1广义逆矩阵及其分类广义逆矩阵及其分类2A+的计算的计算3几类弱逆几类弱逆4广义逆矩阵与线性方程组的解广义逆矩阵与线性方程组的解广义逆矩阵方程广义逆
3、矩阵方程 设设A A是是n n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵,则则存存在在唯唯一一的的逆逆矩矩阵阵A A-1-1,它具有如下性质:它具有如下性质:或者说,或者说,A A-1-1是下述矩阵方程组的解是下述矩阵方程组的解-广义逆矩阵方程广义逆矩阵方程设设若矩阵若矩阵 满足如下四个(满足如下四个(Penrose)方程方程则称则称X为为A的的Moor Penrose逆,记为逆,记为A+例例:容易由定义直接验算:容易由定义直接验算:若若则则存在性证明存在性证明可以验证可以验证X满足广义逆矩阵方程满足广义逆矩阵方程设设 ,A+存在且唯一,即广义矩阵方程组存在且唯一,即广义矩阵方程组定理定理 有唯一解有唯一解设设
4、若若则则A是是 阶零矩阵,可以阶零矩阵,可以 验证验证 阶零矩阵满足四个方程。阶零矩阵满足四个方程。对于矩阵方程对于矩阵方程如果矩阵如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时,可以定义仅满足其中的一个或几个时,可以定义不同的广义逆矩阵。不同的广义逆矩阵。因此,共可定义因此,共可定义类不同的广义逆。类不同的广义逆。由由A+的存在性可知,的存在性可知,15类广义逆都存在,除类广义逆都存在,除A+是唯一确定的外,是唯一确定的外,其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。几几 类类 弱弱 逆逆Ai=|G满足第满足第i个个Penrose方程方程对于矩阵对于矩阵 ,记,记Ai,j=|G满足第
5、满足第i,j个个Penrose方程方程Ai,j,k=|G满足第满足第i,j,k个个Penrose方程方程广义逆集合广义逆集合各类广义逆的关系各类广义逆的关系几种常用的广义逆矩阵几种常用的广义逆矩阵A A11,它的形式记为它的形式记为A A1,21,2,它的形式记为它的形式记为A A1,31,3,它的形式记为它的形式记为A A1,41,4,它的形式记为它的形式记为-最小二乘广义逆最小二乘广义逆-自反广义逆自反广义逆最小范数广义逆最小范数广义逆A1A1是指仅满足第一个是指仅满足第一个PenrosePenrose方程的广义逆,即若方程的广义逆,即若AAAA-1-1A=A,A=A,则记则记广义逆广义逆
6、A A-说明说明:1)1)利用初等行变换,可以求得利用初等行变换,可以求得A A-2 2)A A的减号逆的减号逆A A-不唯一。不唯一。例例:设设容易验证容易验证均满足均满足故故B B,C C都是都是A A的减号逆的减号逆.3)3)矩阵矩阵A A有唯一的有唯一的A A-充分必要条件是充分必要条件是A A为非奇异矩阵,为非奇异矩阵,此时此时A-=A-1定理定理 A1的表示通式的表示通式此定理表明:只要求出此定理表明:只要求出 中的一个元素,就可得到中的一个元素,就可得到 中所有的元素。中所有的元素。广义逆矩阵广义逆矩阵A A+的计算:方法一的计算:方法一 利用利用满秩分解满秩分解如果矩阵如果矩阵
7、A A有满秩分解有满秩分解A=BCA=BC,则有则有A A+的表达式,即的表达式,即 因此广义逆因此广义逆A A+是通常逆矩阵概念的一种推广。是通常逆矩阵概念的一种推广。广义逆矩阵广义逆矩阵A A+与通常逆矩阵有许多类似的性质,但也有一些不同。与通常逆矩阵有许多类似的性质,但也有一些不同。如果如果A A是非奇异矩阵,则是非奇异矩阵,则 并且由上面的公并且由上面的公式计算出式计算出 ,从而,从而如果矩阵如果矩阵A A是行满秩的,是行满秩的,A A有满秩分解有满秩分解A=IA=Im m A A,则则A A+的表达式为的表达式为 如果矩阵如果矩阵A A是列满秩的,是列满秩的,A A有满秩分解有满秩分
8、解A=A I A=A I n n,则则A A+的表达式为的表达式为特别地,设特别地,设 为为n维列向量,且维列向量,且 则则 设设 为为n维行向量,且维行向量,且 则则 例:例:求广义逆求广义逆例:设例:设 求求由由A为列向量,即为列满秩,则为列向量,即为列满秩,则从而从而 若若A既不是行满秩也不是列满秩,则需首先对既不是行满秩也不是列满秩,则需首先对A进行满秩进行满秩分解,再求分解,再求例:已知例:已知求求矩阵矩阵A中分别有两行、两列对应成比例,因此中分别有两行、两列对应成比例,因此A既不是行既不是行满秩也不是列满秩满秩也不是列满秩首先利用初等行变换求出首先利用初等行变换求出A的的Hermi
9、te标准型标准型H为:为:设设A的满秩分解为的满秩分解为 ,则,则于是于是广义逆矩阵广义逆矩阵A A+的计算:方法二的计算:方法二奇异值法奇异值法设矩阵设矩阵 的奇异值分解为的奇异值分解为A=UDVA=UDVH H其中其中U,V U,V 分别是分别是m m阶、阶、n n阶酉矩阵,阶酉矩阵,则容易验证:则容易验证:其中其中利用此方法,需首先对利用此方法,需首先对A进行奇异值分解。进行奇异值分解。例:设例:设求求先求先求A的奇异值分解。因为的奇异值分解。因为为为对应的特征向量为:对应的特征向量为:令令其中其中设设 则则 的特征值的特征值把把扩充为扩充为 的一组标准正交基得:的一组标准正交基得:再令
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