高等数学定积分试题.pptx
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1、一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理广义积分广义积分定定积积分分的的性性质质牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式定定积积分分的的计计算算法法二、内容提要 1 定积分的定义定积分的定义定义的实质定义的实质几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个可积的两个充分充分条件条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性可加性可加性非负性非负性比较定理比较定理估值定理估值定理 积分中值定理积分中值定理积分中值公式积分中值公式若若M 和和 m 是是 变上限定积分及其导数变上限定积
2、分及其导数 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法(1)换元法)换元法换元积分公式换元积分公式(2)分部积分法)分部积分法分部积分公式分部积分公式微积分基本公式微积分基本公式 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分三、典型例题三、典型例题例例1 1解解例例2广义积分中值定理广义积分中值定理设设f(x)在在 a,b上连续,上连续,g(x)在在 a,b上可积,且上可积,且不变号,则不变号,则证证因因f(x)在在 a,b上连续,故上连
3、续,故f(x)在在 a,b上必取得上必取得 最大值最大值M和最小和最小m,又又g(x)在在 a,b上不变号上不变号故不妨设故不妨设若若则由上式知则由上式知可取可取a,b内任一点内任一点若若由介值定理由介值定理例例3 证明证明证一证一由广义积分中值定理由广义积分中值定理证二证二例例4求极限求极限证三证三解解 如果能把数列的通项写成如果能把数列的通项写成的形式的形式就可以利用就可以利用或或把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 的计算问题的计算问题与数列的极限有着密切联系与数列的极限有着密切联系由以上两例可见,连续函数由以上两例可见,连续函数 f(x)的定积分的定积分证明证明Cauc
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