排列组合问题的非常规解题数学思想方法.doc
《排列组合问题的非常规解题数学思想方法.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《排列组合问题的非常规解题数学思想方法.doc(6页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、排列组合问题的非常规解题数学思想方法湖南祁东育贤中学 周友良 匡宗春 421600分类计数,分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法,利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如:特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线? 解法一: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个和七个组成!所以, 四个和七个一个排序就对应一条路经,所以从A到B只能上行或右行共有条不同的路径
2、.解法二:设 表示经过第i列的水平路段;设 表示经过第j行的竖直路段;如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:可以看出这是 与 的一个分别顺序一定的排列,而且一个这样的排列对应一条路径.所以从A到B只能上行或右行共有条不同的路径.二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色,每种颜色只能涂两次,要求相邻不同色,请问一共有多少种涂法。解法一:由题意,红黄蓝三种颜色,每种颜色恰好涂了两次,按一下分类进行:先将两个黄格插入到两个红格 的两端或中间,有5种情况: , , , , , ,再将两个蓝格分别插入到四个红黄间隔的的两端或中间,有4+1+1+10+10+4
3、=30种方法;所以,共有30种涂法。解方法二:由题意,红黄蓝三种颜色,每种颜色恰好涂了两次, 分为两类:123456第一类可按一下步骤进行:第1步:涂第一格,有3种方法;第2步:涂第二格,有2种方法;第3步:用与第一格不同的颜色涂第三格,有1种方法;第4步:第四格可以涂与第三格颜色不同的,有2种方法。第5步:用不同的两色涂剩下的两格,有2种方法;所以有3*2*1*2*224种第二类可按一下步骤进行:第1步:涂第一格,有3种方法;第2步:涂第二格,有2种方法;第3步:用与第一格相同的颜色涂第三格,有1种方法;第4步:第四格只能用没有用过的颜色涂,有种方法。第5步:第五格只能用涂第二格的颜色,第六
4、格只能用涂第四格的颜色,有1种方法;所以有3*2*1*1*16种所以,共有24+630种涂法。解方法三:分成如下四类:第1类:1,3同色有3种颜色可选,剩余的四格必须2,5同色有2种颜色可选,共有6种涂法;第二类:1,4同色有3种颜色可选,剩余的四格必须2,3各涂1色有2种颜色可选,5,6各涂1色有2种颜色可选,共有12种涂法;第三类:1,5同色有3种颜色可选,剩余的四格必须3,6同色有2种颜色可选,共有6种涂法;第四类:1,6同色有3种颜色可选,剩余的四格必须2,4同色有2种颜色可选,共有6种涂法;所以,共有6+12+6+6+630种涂法三方程不等式思想例3一个口袋内有4个不同的红球,6个不
5、同的白球,若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种? 例4将10个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子内,要求放入盒子的球数不小于它的编号数,则不同的放法有( ) A 20种 B15种 C14种 D12种解:设编号为1,2,3的三个盒子中分别放入x,y,z个小球,于是题中不同的放法即为方程: x+y+z=10,且x1,y2,z3的非负整数解的个数令u=x-1,v=y-2,w=z-3,得u+v+w=4,所以该方程的非负整数解的个数即为所求的放法数目C,故选B 四.模型构造思想例5.证明:。证明:原式左端可看成一个班有个同学,从中选出个同学组成兴
6、趣小组,在选出的个同学中,个同学参加数学兴趣小组,余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组,在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。例6. 方程的非负整数解的组数是多少?分析:设则原题即转换为有多少正整数解。可由抽象到具体建立如下模型:将12个小球排成一列,在它们两之间形成的缝隙中任意插入3块木板,则把这12个球分成4组,而这4组的数目即为即原方程的非负整数解是:(组).五.“正难则反”的思想解决问题,当正面难以解决时,不妨从反面、侧面思考,顺繁则逆、正难则反例7有五张卡片,他们的正
7、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?解析:(1)0不能作百位,但可以作十位或个位(2)0与1在同张卡片上,因此直接分类既要考虑0又要考虑1分类较复杂于是先不考虑任何情况算出总数,然后减去0在左边第一位的号码即为所求由于任取三张可以组成不同的三个数的号码有:,其中0在左边第一位的号码有:,故所求的不同三位数共有:-=432 个例8从1,2,3,1995这1995个自然数中,取出9个互不相邻的自然数,有多少种方法?解析:由于符合题意的条件错综复杂,正面进攻思维受阻,此时采用反面去考虑问题问题相当于“9个女生不相邻地插入
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 排列组合 问题 常规 解题 数学 思想 方法
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【人****来】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【人****来】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。