B积分形式的基本方程.pptx
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1、Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程1系统系统-包含确定流体介质的集合包含确定流体介质的集合,无质量交换有能量交换无质量交换有能量交换系统的质量系统的质量系统的动量系统的动量系统的动量距系统的动量距是单位体积的物理量是单位体积的物理量系统的体积系统的体积控制体控制体-流体流过的流体流过的固定固定边界边界包含的体积包含的体积控制面控制面-固定固定边界边界构成的面构成的面,有质量交换有能量交换有质量交换有能量交换引言Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程2系统广延量系统
2、广延量控制体广延量控制体广延量 B4.1 B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数 输运公式输运公式 系统广延量的导数,称为系统导数。系统广延量的导数,称为系统导数。控制体广延量随时间变化率控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率称为当地变化率;当流场定常时为零。;当流场定常时为零。通过控制面净流出的广延量流量通过控制面净流出的广延量流量,称为迁移变化率称为迁移变化率;当流场均匀时为零。;当流场均匀时为零。输运公式计算取决于控制体输运公式计算取决于控制体(面面)的选择的选择Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程3t t时刻界
3、面时刻界面S S,体积,体积体积体积(t+t+tt)S S S S (t+t)12t+t+tt时刻界面时刻界面S SFluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程4t t时刻界面时刻界面S S,体积,体积体积体积(t+t+tt)S S S S (t+t)12t+t+tt时刻界面时刻界面S SS1S2物理量流量物理量流量Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程5高斯公式高斯公式输运公式输运公式质量守恒Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本
4、方程积分形式的基本方程6t t时刻界面时刻界面S S,体积,体积体积体积(t+t+tt)S S S S (t+t)12t+t+tt时刻界面时刻界面S S物理量流量物理量流量S1S2动坐标系的输运公式动坐标系的输运公式Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程7输输运运公公式式系统质量系统质量 的随体的随体导数导数系统动量系统动量 的随体导数的随体导数物理量流量物理量流量质量流量质量流量动量流量动量流量系统体积系统体积 的随体的随体导数导数体积流量体积流量Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方
5、程积分形式的基本方程8B4.2 B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程B4.2.1 B4.2.1 固体的控制体固体的控制体上式表明:通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质上式表明:通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量量 随时间的减少率。随时间的减少率。输运公式可用于任何分布函数输运公式可用于任何分布函数 ,如密度分布、动量分布、,如密度分布、动量分布、能量分布等。能量分布等。令令 ,由系统的质量不变可得连续性方程,由系统的质量不变可得连续性方程对固定的对固定的CVCV,积分形式的连续性方程可化为,积分形式的连续性方程可化为Fluid Mechanics and Ma
6、chinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程9系统质量系统质量 的随体的随体导数导数质量流量质量流量连续性方程连续性方程高斯公式高斯公式nr替换替换质量流量质量流量Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程10流进面流进面1流出面流出面2AB流进面流进面1流出面流出面21.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程11流进面流进面1流出面流出面2AB流进面流进面1流出面流出面21.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 Flu
7、id Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程12设出入口截面上的质流量大小为设出入口截面上的质流量大小为 1.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 一般式一般式 有多个出入口有多个出入口 2.2.沿流管的不可压缩流动沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为设出入口截面上的体积流量大小为 一般式一般式 有多个出入口有多个出入口 Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程13 例例B4.2.1 B4.2.1 主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程主动脉弓流动:多个一维出入口连
8、续性方程 已知已知:所有管截面均为圆形所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分别为平均流量分别为Q1=6 l/min,Q 3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q 5=0.78Q1 求:求:Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度 解:解:取图中虚线所示控制体,有多个出入口。取图中虚线所示控制体,有多个出入口。血液按不可压缩流体处理血液按不可压缩流体处理 可得可得Q1=Q 2+Q 3+Q 4+Q 5 Q2=Q 1(Q 3+Q 4+Q 5)=Q 1(0.07+0.04+0.78)Q =0.11Q1=0.66 l/min
9、 Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程14各管的平均速度为各管的平均速度为 例例B4.2.1 B4.2.1 主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程主动脉弓流动:多个一维出入口连续性方程 Q1=6 l/min1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程15B4.2.2 B4.2.2 运动的控制体运动的控制体 将控制体随物体一起运动时,连续性方程形式不变,只要将将控制体随物体一起运动时,连续性方程形式不变,只要将速度改成相对
10、速度速度改成相对速度vr对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时 上式中上式中 ,vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程16 例例B4.2.1b B4.2.1b 变水位孔口出流:随时间变化的控制体变水位孔口出流:随时间变化的控制体已知圆柱型水箱已知圆柱型水箱,D=1m,d=0.1m,放水前水深放水前水深H=1m,假假设孔口出流速度为设孔口出流速度为v2=2gh?,h(t)为任意时刻的
11、水深。DdhvH求孔口打开至水放空所需时间求孔口打开至水放空所需时间T T放空放空h=0Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程17 例例B4.2.2 B4.2.2 圆管入口段流动:速度廓线变化圆管入口段流动:速度廓线变化 已知已知:不可压缩粘性流体以速度不可压缩粘性流体以速度U流入半径流入半径R的圆管的圆管,圆截面上的速度廓圆截面上的速度廓 线线,不断发展至指数形式分布不断发展至指数形式分布(湍流湍流)并不再变化称为充分发展流动。并不再变化称为充分发展流动。求:求:充分发展流动的速度廓线表达式充分发展流动的速度廓线表达式解:解:设
12、设充分发展流动的速度廓线为充分发展流动的速度廓线为 指数形式指数形式式中式中um为管轴上的最大速度,在定常流动中为常数,通常取为管轴上的最大速度,在定常流动中为常数,通常取 n=1/7-1/10.由连续性方程由连续性方程:(b)式左端式左端=R 2U,(b)式右端式右端=(b)(a)URFluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程18 例例B4.2.2 B4.2.2 圆管入口段流动:速度廓线变化圆管入口段流动:速度廓线变化 由积分公式可得由积分公式可得取取 n=1/7时时由由(b)式可得式可得 或或 U=0.8167 u m Fluid
13、 Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程19B4.3 B4.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用伯努利方程的推导:伯努利方程的推导:由一维欧拉运动方程沿流线积分由一维欧拉运动方程沿流线积分伯努利方程的限制条件:伯努利方程的限制条件:(3)定常流动定常流动伯努利(伯努利(D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782)方程的提出和意义)方程的提出和意义(2)不可压缩流体不可压缩流体(1)无粘性流体无粘性流体(4)沿流线成立沿流线成立Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本
14、方程积分形式的基本方程20加速度的变体 Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程21Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程22欧拉方程可化为葛罗米柯方程(欧拉方程的另一种形式):葛罗米柯方程P压力函数W势函数Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程23理想流体微分方程的积分 恒定流时 葛罗米柯方程方程可化为葛罗米柯方程方程可化为:流线切线方向沿流线伯努利方程Fluid Mechanics and Machin
15、ery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程24K=0,伯努力方程P压力函数W势函数伯努力方程化为当质量力只有当质量力只有重重力力时,对时,对理想理想、不可压缩不可压缩流体有流体有伯努利方程伯努利方程Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程25行列式为零的情况 静止流体:,得到静力学基本方程 无旋流动:流 线:涡线:螺旋运动?:无旋流动无旋流动伯努利方程伯努利方程 处处成立处处成立Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程26流线方向的速度压强关系切向加速度几何关系定
16、常流动定常流动zxyGFluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程27元流伯努利方程的应用毕托管测速仪 滞止点滞止点(驻点驻点)1 1:速度为零,压力最大速度为零,压力最大 为经实验校正的流速系数,为经实验校正的流速系数,它与管的构造和加工情况有关,它与管的构造和加工情况有关,其值近似等于其值近似等于1 1。实际流速实际流速h1Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程28已知已知:设毕托管正前方的流速保持为设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为静压强为p,流体密度为流体密度为
17、,U 形管中形管中液体密度液体密度m.求:求:用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 毕托测速管毕托测速管 AOB线是一条流线线是一条流线(常称为零流线常称为零流线),k 称为毕托管系数。称为毕托管系数。总压总压=静压静压+动压动压Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程29等压面等压面,pM=pNzxMNpMPNp0pFluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程30B4.3.2 B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程1.1.单位质量
18、流体沿流线法线方向的机械能守恒单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒常数常数(沿流线法线方向沿流线法线方向)惯性离心力做功惯性离心力做功重力势能重力势能压强势能压强势能2.2.理想流体沿总流的伯努利方程理想流体沿总流的伯努利方程常数常数 (沿流束沿流束)上式中上式中V V为总流截面上的平均速度,为总流截面上的平均速度,为动能修正因子(通常取为动能修正因子(通常取 )实际流体的总流伯努力方程实际流体的总流伯努力方程:Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程31CRzxyG流线主法线方向的速度压强关系流线主法线方向的速度压强关系向心加速
19、度向心加速度几何关系渐变流动渐变流动p+z垂直于流线的断面上不变垂直于流线的断面上不变忽略重力poutpinFluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程32对于恒定不可压缩且质量力只有重力的渐变流动xzy 即在即在渐变流过流断面渐变流过流断面上,压强分布可认为服从于上,压强分布可认为服从于流体流体静力学规律静力学规律。p/+z在渐变流的过流断面上不变在渐变流的过流断面上不变过流过流 断断面面x流动方向流动方向Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程33恒定总流伯努利方程 渐变
20、流渐变流及其性质及其性质 均匀流均匀流的流线是相互的流线是相互平行的直线平行的直线,过流断面是,过流断面是平面平面。许。许多流动情况虽然不是严格的均匀流,但多流动情况虽然不是严格的均匀流,但接近接近于均匀流,这种于均匀流,这种流动称为流动称为渐变流动渐变流动。渐变流的流线。渐变流的流线近乎近乎平行直线,流速沿流平行直线,流速沿流向变化小,可忽略不计,过流断面可向变化小,可忽略不计,过流断面可认为认为是平面。是平面。Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程34考虑粘性效应的伯努力方程考虑粘性效应的伯努力方程Fluid Mechanic
21、s and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程35总流伯努力方程总流伯努力方程总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到式中包含三类积分式中包含三类积分:(a)势能积分势能积分 取渐变流断面取渐变流断面,则则:B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程36引入断面平均流速及引入断面平均流速及动能修正系数动能修正系数 取决于断面取决于断面上流速的分布,上流速的分布,通常取通常取(c)损失积分损失积分
22、引入引入 来表示单位时间单位重量流体由来表示单位时间单位重量流体由1-11-1断面断面到到2-22-2断面的断面的平均平均机械能损失,称为机械能损失,称为总流水头损失总流水头损失(b)动能流量动能流量 B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程37将上述三类积分带入原积分式,则得到总流伯努力方程将上述三类积分带入原积分式,则得到总流伯努力方程:B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and Machi
23、nery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程38总流伯努力方程的适用条件 恒定流;不可压缩流体;质量力只有重力;渐变流过流断面;无分流和合流;无能量的输入输出。B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程39总流伯努力方程的意义总流伯努力方程的意义 总流伯努力方程的几何意义和物理意义在总流伯努力方程的几何意义和物理意义在“平均平均”的意义下的意义下同元流伯努力方程相同,即:同元流伯努力方程相同,即:各项分别代表总流过流断面上某点各项分别代表总流过流断面上某点
24、单位重量单位重量流体的流体的势能势能、压能压能及及动能动能;代表代表单位重量单位重量流体由流体由 1-1 1-1 断面到断面到 2-2 2-2 断面的断面的平均平均机械损失机械损失,称为,称为总流水头损失总流水头损失。代表流过流断面上某点代表流过流断面上某点单位重量单位重量流体的流体的总平均势能总平均势能 代表流过流断面上某点代表流过流断面上某点单位重量单位重量流体的流体的总平均机械能总平均机械能;B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程40总流伯努力方程的几何
25、表示总流伯努力方程的几何表示水力坡度定义水力坡度定义 理想流体:,总水头线沿程不变;实际流体:,总水头线沿程下降。测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度Fluid Mechanics and Machinery B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程41测压管水头线测压管水头线Hp总水头线总水头线H水流轴线水流轴线HHp水头损失水头损失hl总流伯努力方程的几何表示总流伯努力方程的几何表示水力坡度定义水力坡度定义 测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义Fluid Mechanics and Machinery B4
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