Fourier变换.pptx
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1、1.2 Fourier变换变换1 Fourier变换的概念变换的概念2 单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换3 非周期函数的频谱非周期函数的频谱 已知已知,若函数若函数 f(t)满足满足Fouriier积分定理的条件积分定理的条件,则在则在 f(t)的连续点处的连续点处,有有设设则则1 Fourier变换的概念变换的概念(1.9)式叫做式叫做 f(t)的的Fourier变换式变换式,(1.10)式为式为F(w w)的的Fourier逆变换式逆变换式,f(t)与与 F(w w)可相互转换可相互转换,可记为可记为和和 还可以将还可以将 f(t)放在左端放在左端,F(w w)放在右
2、端放在右端,中间中间用双向箭头连接用双向箭头连接:(1.9)式右端的积分运算式右端的积分运算,叫做叫做 f(t)的的Fourier变换变换,同样同样,f(t)F(w w)(1.10)式右端的积分运算式右端的积分运算,叫做叫做 F(w)的的Fourier逆变换逆变换.F(w)称作称作 f(t)的的象函数象函数,f(t)称作称作 F(w)的的象原函数象原函数.可以说象函数可以说象函数F(w)和象原函数和象原函数 f(t)构成了一个构成了一个Fourier变换对,它们有相同的变换对,它们有相同的奇偶性奇偶性。当当 f(t)为奇函数时,由上式可得为奇函数时,由上式可得叫做叫做 f(t)的的Fourie
3、r正弦变换式正弦变换式(简称为简称为正弦变换正弦变换),即,即叫做叫做 的的Fourier正弦逆变换式正弦逆变换式(简称为简称为正弦逆变正弦逆变换换),即,即而而当当 f(t)为偶函数时,由上式同理可得为偶函数时,由上式同理可得叫做叫做 f(t)的的Fourier余弦变换式余弦变换式(简称为简称为余弦变换余弦变换),即,即叫做叫做 的的Fourier余弦逆变换式余弦逆变换式(简称为简称为余弦逆变余弦逆变换换),即,即而而tf(t)例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式,其中分表达式,其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数,叫指指数衰减函数,是工程技术上常碰到
4、的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式,其中分表达式,其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数,叫指指数衰减函数,是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。根据公式根据公式,有有解解:例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式,其中分表达式,其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数,叫指指数衰减函数,是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解:这就是指数衰减函数的这就是指数衰减函数的Fourier变换。下面来求指数变换。下面来求指数衰减函数的积分表达
5、式。衰减函数的积分表达式。根据根据Fourier逆变换式和奇偶函数的积分性质逆变换式和奇偶函数的积分性质,有有例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式,其中分表达式,其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数,叫指指数衰减函数,是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解:例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换及其积分表达式,其中分表达式,其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数,叫指指数衰减函数,是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解:因此因此例例1 求函数求函数 的的Fourier变换及其积变换
6、及其积分表达式,其中分表达式,其中 0。这个。这个f(t)叫指指数衰减函数,叫指指数衰减函数,是工程技术上常碰到的一个函数。是工程技术上常碰到的一个函数。解解:因此可得到一个含参量广义积分的结果:因此可得到一个含参量广义积分的结果:例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求:变换并求:解解:函数为一连续奇函数,则:函数为一连续奇函数,则例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求:变换并求:解解:例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求:变换并求:解解:例例 求函数求函数 的的Fourier变换并求:变换并求:解解:由由Fourier积分公式,有积分公式,有例例 求函数求函数 的的
7、Fourier变换并求:变换并求:解解:所以有所以有例例2 求函数求函数 的的Fourier变换及其积分表达变换及其积分表达 式,其中式,其中A 0,0。这个函数叫做钟形脉冲。这个函数叫做钟形脉冲 函函 数,也是工程技术中常碰到的一个函数。数,也是工程技术中常碰到的一个函数。解解 根据根据Fourier变换式,有变换式,有如令如令 ,上式为一复变函数的积分,即,上式为一复变函数的积分,即积分路线如图所示积分路线如图所示:ABCD-RRO实轴实轴虚轴虚轴 由于由于 为复平面为复平面 s 上的解析函数,取图所示的上的解析函数,取图所示的闭曲线闭曲线 l:矩形:矩形 ABCDA,按,按 Cauchy
8、 积分定理,有积分定理,有即即其中,当其中,当 时,有时,有令令同理,当同理,当 时,有时,有从而,当从而,当 时,有时,有由此可知由此可知即即因此,钟形脉冲函数的因此,钟形脉冲函数的Fourier变换为变换为 下面求钟形脉冲函数的积分表达式下面求钟形脉冲函数的积分表达式,根据根据Fourier积分变换式,并利用奇偶函数的积分性质,可得积分变换式,并利用奇偶函数的积分性质,可得由此还可得到一个含参量广义积分的结果由此还可得到一个含参量广义积分的结果:例例3 求函数求函数 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换.解解 根据正弦变换式,根据正弦变换式,f(t)的正弦变换为的正弦变换为根据余弦变换
9、式,根据余弦变换式,f(t)的余弦变换为的余弦变换为可以发现,在半无限区间上的同一函数可以发现,在半无限区间上的同一函数 f(t),其正,其正弦变换和余弦的结果是不同的。弦变换和余弦的结果是不同的。例例 求函数求函数 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换.解解 根据正弦变换式,根据正弦变换式,f(t)的正弦变换为的正弦变换为例例 求函数求函数 的正弦变换和余弦变换的正弦变换和余弦变换.解解 根据余弦变换式,根据余弦变换式,f(t)的余弦变换为的余弦变换为 在物理和工程技术中在物理和工程技术中,常常会碰到常常会碰到单位脉冲函数单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有
10、脉冲性质,如在电学中如在电学中,要要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流电流;在力学中在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的研究此类问题就会产生我们要介绍的单单位脉冲函数位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬时在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为设为 t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t)。以。以 q(t)表示上述电路中到时刻表示上述电路中到时刻 t 为此通过导体为此通过导体截面的电
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