算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.pptx
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1、Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系1/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 1,基本对易式基本对易式:3.7 算符的算符的对易对易关系关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relat
2、ion 一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators)Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系2/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系3/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量2,角动量算符的对易式角动量算符的对易式:角动量算符定义角动量算符定义:列
3、维列维-斯维塔斯维塔(Levi-Civita)符号符号 Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系4/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量同理可证同理可证:例题例题 证明证明(原课件原课件):因因 是任意的函数是任意的函数,所以所以解解:取任意函数取任意函数,由于由于Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系5/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量解解:
4、因为因为 例题例题 证明证明(原课件原课件):又因为又因为Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系6/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量证明证明:设设即有即有一般情况一般情况:设任意波函数态为设任意波函数态为,因因n组成完备系组成完备系,所以所以二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation)1,定理定理1:如果两个算符如果两个算符F和和G有一组共同的本征函数有一组共同的本征函数
5、 n,而且组成完备系而且组成完备系,则算符则算符F和和G对易对易.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系7/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量证明证明:(1),非简并非简并,设设2,定理定理2:如果两个算符如果两个算符F、G对易对易,则这两个算符有则这两个算符有 共同的本征函数共同的本征函数,这些本征函数组成完备系这些本征函数组成完备系.又因又因fn 是无简并的是无简并的,所以所以:Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有
6、确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系8/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量(2),简并时简并时:设设F的本征值的本征值fn有简并有简并,简并度为简并度为sn Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系9/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量g 是是 的本征值的本征值G为了为了 n也也是是 的本征函数的本征函数,令令G显然显然:n是是 的本征函数的本征函数,本征值为本征值为fn.F同时左乘同时左乘 ,积分积分Quantum mech
7、anics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系10/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量,若无重根若无重根:可解出可解出sn个个gj(j=1,2,)分别将分别将gj代入前式可得对应于每个代入前式可得对应于每个gj的一组解的一组解 Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系11/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量所以相应的波函数所以相应的波函数 F即即:nj 是是 、的共同本征函数
8、的共同本征函数,本征值分别为本征值分别为fn,gjG所以所以:F属于属于fn 的的sn个本征函数个本征函数 ni G可按可按 的的sn个本征值个本征值gj来分类来分类一组一组(fn,gj)确定的本征函数确定的本征函数 nj,sn 度简并解除度简并解除.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系12/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量对易关系的物理意义对易关系的物理意义:若两算符对易若两算符对易,则两算符存在共同本征则两算符存在共同本征函数函数.在其共同本征函数所描写的态中
9、在其共同本征函数所描写的态中,两算符表示的力学量同时有确定的值两算符表示的力学量同时有确定的值.因为因为 的本征函数的本征函数 nj nj 构成完全系构成完全系,所以所以 、的共同本征函数也组成完全系的共同本征函数也组成完全系.FGFFG,若若 有重根有重根:则还需再找出与则还需再找出与 、对易的力学量对易的力学量,才能确定体系的状态才能确定体系的状态.Quantum mechanics3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系13/26第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量相应的本征值为相应的本征值为:px,p
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