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北师大版初中证明题知识点大全一、 相交线与平行线1、 平行线的性质（1） 两线平行，内错角相等（2） 两线平行，同位角相等（3） 两线平行，同旁内角互补2、 平行线的判定（1） 内错角相等，两线平行（2） 同位角相等，两线平行（3） 同旁内角互补，两线平行（4） 同平行于一线的两线平行（5） 同垂直于一线的两线平行二、 角平分线1、 角平分线的性质定义：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2、角平分线的判定（1）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.（2）把一个角分成相同角度的线叫做角平分线。3、三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.三、垂直平分线1、垂直平分线的意义及性质（1）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（3）三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、垂直平分线的判定线段的中线并且垂直于这条线段四、三角形全等1、全等三角形的判定（1）定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）（2）定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）（3）定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）（4）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS)（5）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)2、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等.五、相似三角形 1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形2相似比定义：相似三角形对应边的比3相似三角形的判定（1）对应边相等，对应角成比例。（2）两角对应相等的两个三角形相似。AA（3）两角对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。SAS（4）三边对应成比例的两个三角形相似。SSS4相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。5、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 六、勾股定理（1）若三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形三角形（2）若，时，以，为三边的三角形是三角形；（3）若，时，以，为三边的三角形是三角形；（4）用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； （为正整数） （，为正整数）七、等腰三角形 1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等八、等边三角形1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质：（1）具有等腰三角形的所有性质。（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。3、等边三角形的判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形。（2）：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。九、直角三角形1、 直角三角形的性质（1）定理：直角三角形的两个锐角互余.（2）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。2、直角三角形的判定（1）定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.（2）定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.十、平行四边形1、平行四边形的性质（1）定理：平行四边形的对边相等.（2）定理：平行四边形的对角相等.（3）定理：平行四边形的对角线互相平分.（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.2、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.十一、特殊平行四边形菱形1、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等 2、菱形的性质：具有平行四边形的所有性质。还有以下个性：（1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。3、菱形的判定 （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件：是一个平行四边形；两条对角线互相垂直 （2）四边都相等的四边形是菱形 矩形1、矩形定义：有个一角是直角的平行四边形叫做矩形 （1）矩形是特殊的平行四边形；（2）有一个角是直角2、矩形的性质：具有平行四边形的所以性质。还有以下个性：性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等。矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。3、矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（定义法）（2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等 （3）都是直角的四边形是矩形（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形1、正方形的定义：有一组对边直平行且相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等；（3）有一个角是直角强调：正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： 有一组邻边相等的平行四边形（菱形），有一个角是直角的平行四边形（矩形）。说明：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形2、正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质：（1）边：两组对边平行且相等；（2）角：四个角都是直角；（3）对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（4）正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；（5）正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质 3、正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)对角线互相垂直的矩形是正方形；(3)有一个角是直角的菱形是正方形； (4) 对角线相等的菱形是正方形.注意：要确定一个四边形是正方形，应先确定它是矩形或是菱形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.十二、梯形1、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、等腰梯形定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。3、直角梯形定义：一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。4、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。6、等腰梯形的判定：同一同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。十三、三角形高，中线，角平分线，中位线三角形的角平分线1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。2、性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。三角形的中线：1、定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。2、性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。三角形的高线：1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.3、由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.十四、三角形内角和，补角，余角，外角1、三角形的内角的关系：三角形三个内角和等于180。直角三角形的两个锐角互余。2、余角、补角和对顶角（1）余角：定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。性质：同角或等角的余角相等。（2）补角：定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。性质：同角或等角的补角相等。（3）对顶角： 定义：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。3、外角三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。十五、多边形的内角和与外角和定理：边形的内角和等于180.定理：多边形的外角和都等于360.备注：n边形共有条对角线.