Z变换和差分方程.pptx

第三节第三节 差分方程差分方程n n 差分方程是包含关于变量差分方程是包含关于变量 k k 的序列的序列y y（k k）及其各阶差分的方程式。）及其各阶差分的方程式。是具有递推关系的代数方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值解。解。对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值刻的输出值 y(k)y(k)不仅与这一时刻的输入值不仅与这一时刻的输入值 r(k)r(k)有有关，而且与过去时刻的输入值关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)r(k-1)、r(k-2)r(k-2)有有关，还与过去的输出值关，还与过去的输出值y(k-1)y(k-1)、y(k-2)y(k-2)有关。可有关。可以把这种关系描述如下：以把这种关系描述如下：n n n n系统的阶次系统的阶次系统的阶次系统的阶次k k k k系统的第系统的第系统的第系统的第k k k k个采样周期个采样周期个采样周期个采样周期线性定常系统差分线性定常系统差分线性定常系统差分线性定常系统差分方程的一般形式方程的一般形式方程的一般形式方程的一般形式差分方程的定义差分方程的定义:差分方程的物理意义差分方程的物理意义1.1.差分方程给出了沿时间顺序差分方程给出了沿时间顺序输出量的若输出量的若干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值的关系。的关系。2.2.通常，若系统的连续部分是一个通常，若系统的连续部分是一个 n n 阶的阶的线性环节，则构成离散系统时，其相应的线性环节，则构成离散系统时，其相应的差分方程也是差分方程也是 n n 阶的线性差分方程。阶的线性差分方程。3.3.一个一个n n 阶差分方程中，一般包括有阶差分方程中，一般包括有n n 个个过去采样瞬时的输出值。过去采样瞬时的输出值。典型的采样系统典型的采样系统差分方程的差分方程的 求解方法求解方法1.迭代求解迭代求解迭代法求解示例迭代法求解示例例题：若描述某离散系统的差分方程为：例题：若描述某离散系统的差分方程为：已知初始条件已知初始条件:求求:解：解：将方程中除将方程中除 y y（k k）以外的各项都移到等号右边，以外的各项都移到等号右边，得：得：对于对于类似的依次迭代可得：类似的依次迭代可得：迭代法的迭代法的 特点特点1.1.思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。的数值解。2.2.但不容易得出输出在采样时刻值的通解。但不容易得出输出在采样时刻值的通解。直接求解差分方程是比较困难直接求解差分方程是比较困难的，因此考虑到：能否借用的，因此考虑到：能否借用类似类似于拉斯变换于拉斯变换的数学方法来简化方的数学方法来简化方程求解？程求解？第四节第四节 Z 变换变换引入变量：引入变量：或者写成：或者写成：S:S:S:S:拉普拉斯变换的算子拉普拉斯变换的算子拉普拉斯变换的算子拉普拉斯变换的算子；Ts:Ts:Ts:Ts:采样周期；采样周期；采样周期；采样周期；Z Z Z Z：一个复变量，定义在：一个复变量，定义在：一个复变量，定义在：一个复变量，定义在 Z Z 平面上，称为平面上，称为平面上，称为平面上，称为 Z Z 变换算子，变换算子，变换算子，变换算子，记为：采样信号的记为：采样信号的记为：采样信号的记为：采样信号的Z Z变换：变换：变换：变换：Z Zf f*(t t)=F=F(z z)F F(z)(z)是采样脉冲序列的是采样脉冲序列的 Z Z变换，变换，它只考虑了采样时刻的信号值。它只考虑了采样时刻的信号值。Z Z 变换的实质变换的实质1.将差分方程转为代数方程，将差分方程转为代数方程，简化求解过程简化求解过程。2.复变量复变量 s 与与 z 之间的关系，反映了连续之间的关系，反映了连续函数在函数在 s 域和离散函数在域和离散函数在 z 域的对应关域的对应关系。系。n 级数求和法级数求和法 部分分式法部分分式法 留数计算法留数计算法4.2 4.2 Z 变换的方法变换的方法1.1.级数求和法级数求和法将离散函数根据定义展开将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯然后逐项进行拉斯变换，变换，F*(t)=可得：可得：F F(z)(z)=f f(0)(0)1+1+f f(T)(T)Z Z-1-1+f f(2T)(2T)Z Z-2-2+f f(nT)(nT)Z Z-n-n 例例 8-1 见教材见教材339339页页 例题例题8 84 41.1.例例 8-2 求求 的的 F(Z)见教材见教材339339页例题页例题8 84 42 2例例8-3 求解求解 的的 Z 变换变换。2.2.部分分式法部分分式法 当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。见教材见教材339339页例题页例题8 84 43 3例例8-4 求求 设连续函数设连续函数设连续函数设连续函数f(t)f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F F F F(S)(S)(S)(S)及全部极点及全部极点及全部极点及全部极点已知已知已知已知,则可用留数计算法求则可用留数计算法求则可用留数计算法求则可用留数计算法求Z Z Z Z变换变换变换变换.当当当当F(S)F(S)F(S)F(S)具有一阶极点具有一阶极点具有一阶极点具有一阶极点S=PS=PS=PS=P1 1 1 1时时时时,其留数为其留数为其留数为其留数为:当当当当F(S)F(S)F(S)F(S)具有具有具有具有q q q q阶重复极点时阶重复极点时阶重复极点时阶重复极点时,其留数为其留数为其留数为其留数为:4.2.3 4.2.3 留数计算法留数计算法例例8-4-5 求求求求的的的的Z Z变换变换变换变换解解解解:例例86 求求求求的的的的Z Z Z Z变换变换变换变换解解解解:两阶重极点两阶重极点两阶重极点两阶重极点!例例87 下表列出了一些常见函数及其相应的下表列出了一些常见函数及其相应的 Laplace 变换变换 和和 Z 变换，利用此表可以根变换，利用此表可以根据给定的函数或其据给定的函数或其 Laplace 变换直接查出变换直接查出其对应的其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算，变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中广泛应用的方法。这也是实际中广泛应用的方法。常用函数的常用函数的 Z变换变换（见教材（见教材341341页表页表8 84 41 1）1 1、线性定理、线性定理2 2、滞后定理、滞后定理3 3、初值定理、初值定理4 4、终值定理、终值定理5 5、超前定理、超前定理6 6、复数偏移定理、复数偏移定理4.3 Z 4.3 Z 变换的基本定理变换的基本定理（p342p342）1 1、线性定理、线性定理设：设：设：设：则：则：则：则：函数线性组合的函数线性组合的函数线性组合的函数线性组合的Z Z Z Z变换，等于各函数变换，等于各函数变换，等于各函数变换，等于各函数Z Z Z Z变换的线性组合。变换的线性组合。变换的线性组合。变换的线性组合。2 2、滞后定理、滞后定理设在设在设在设在t0t0t0t0时连续函数时连续函数时连续函数时连续函数f(t)f(t)f(t)f(t)的值为零，其的值为零，其的值为零，其的值为零，其Z Z Z Z变换为变换为变换为变换为F F F F（Z Z Z Z）则则则则:原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z z-k-k,算子算子z z-k-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k k个周期。个周期。3 3、初值定理、初值定理设函数设函数f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F（z z），并且），并且 存在，则存在，则存在，则存在，则4 4、终值定理、终值定理 设函数设函数f f(t)(t)的的 Z Z变换为变换为F F（z z），并且（，并且（1-z1-z-1-1）F(z)F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有经常用于分析计算机系统的稳态误差！经常用于分析计算机系统的稳态误差！经常用于分析计算机系统的稳态误差！经常用于分析计算机系统的稳态误差！5 5、超前定理、超前定理设函数设函数f(t)f(t)的的 Z Z变换为变换为则：则：则：则：若若若若则：则：则：则：6 6、复数偏移定理、复数偏移定理设函数设函数f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F（Z Z），则），则n长除法（幂级数展开法）n部分分式法n留数法（反演积分法）4.4 4.4 Z 反变换反变换Z 反变换是反变换是:已知已知 Z 变换表达变换表达式式 F(Z)f (nT)的逆过程的逆过程.要点：将要点：将F F（Z Z）用长除法变化为降幂排列的展开形式。）用长除法变化为降幂排列的展开形式。4.4.1 4.4.1 长除法（幂级数法）长除法（幂级数法）Z Z Z Z反变换为反变换为反变换为反变换为:也即：也即：也即：也即：例例例例8888 求求求求的的的的Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：步骤：步骤：先将变换式写成先将变换式写成，展展开开成部分分式，成部分分式，查查Z Z变换表变换表两端乘以两端乘以Z Z4.4.2 4.4.2 部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）例例例例8989 求求求求的的的的Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：函数函数F(z)zF(z)zn-1n-1在极点在极点Z Zi i处的留数处的留数曲线曲线曲线曲线C C C C可以是包含可以是包含可以是包含可以是包含F(z)zF(z)zn-1n-1全部极点的任意封闭曲线全部极点的任意封闭曲线若若若若 Z Z Z Zi i i i为一重极点为一重极点为一重极点为一重极点:若若若若 Z Z Z Zi i i i为为为为q q q q重极点重极点重极点重极点:3.3.留数法留数法 （反演积分法）（反演积分法）例例例例810810 求求求求的的的的Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：有两个一重极点有两个一重极点有两个一重极点有两个一重极点例例例例811811 求求求求的的的的Z Z反变换反变换反变换反变换解：解：解：解：有一个两重极点有一个两重极点有一个两重极点有一个两重极点用用 Z 变换变换 解解二阶差分方程二阶差分方程用用 Z Z 变换法求解下列二阶差分方程：变换法求解下列二阶差分方程：对上式两边取对上式两边取对上式两边取对上式两边取 Z Z Z Z变换，得变换，得变换，得变换，得代入初始条件，得代入初始条件，得代入初始条件，得代入初始条件，得查表，得查表，得查表，得查表，得用用 Z Z 变换法求解下列二阶差分方程：变换法求解下列二阶差分方程：根据根据根据根据 Z Z变换的定义有：变换的定义有：变换的定义有：变换的定义有：u(n)u(n)u(n)u(n)=1=1=1=1对上述差分方程进行对上述差分方程进行对上述差分方程进行对上述差分方程进行Z Z变换，代入初始条件，得：变换，代入初始条件，得：变换，代入初始条件，得：变换，代入初始条件，得：（Z Z Z Z2 2-3Z+2)C-3Z+2)C(z)(z)=1=1查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：根据根据根据根据 Z Z变换的性质有：变换的性质有：变换的性质有：变换的性质有：c(n+1)c(n+1)c(n+1)c(n+1)=Z c(z)-zc(0),=Z c(z)-zc(0),=Z c(z)-zc(0),=Z c(z)-zc(0),C(n+1)=C(n+1)=C(n+1)=C(n+1)=-1-1 z C(z)z C(z)z C(z)z C(z)-1-1 zC(0)zC(0)zC(0)zC(0)在现在的情况下在现在的情况下在现在的情况下在现在的情况下:c(0)=0,:c(0)=0,:c(0)=0,:c(0)=0,于是有：于是有：于是有：于是有：c(n+1)=c(n+1)=c(n+1)=c(n+1)=最后得：最后得：最后得：最后得：在连续量的系统中，采用了在连续量的系统中，采用了LaplaceLaplaceLaplaceLaplace变换求解变换求解微分方程，并直接定义了传递函数，成为研究系微分方程，并直接定义了传递函数，成为研究系统的基本工具。统的基本工具。在采样系统中，连续量变成了离散量，将在采样系统中，连续量变成了离散量，将Laplace Laplace 变换用于离散量中，就得到了变换用于离散量中，就得到了Z Z变换变换。和拉斯变换一样，和拉斯变换一样，Z Z变换可用来求解变换可用来求解差分方差分方程程，定义的，定义的Z Z传递函数（脉冲传递函数）传递函数（脉冲传递函数）成为分成为分析研究采样系统的基本工具。析研究采样系统的基本工具。