Markov状态机制转移模型的贝叶斯分析.doc

Markov机制转换模型的贝叶斯分析
黄志国 吴峻明
摘 要
Markov机制转换模型在分析变量变化问题上具有其它确定性模型不可比拟的优势，而Markov机制转换模型与其他经典模型的结合可以使它具有更广泛的应用。贝叶斯方法在估计高维参数问题上同样具有非凡的吸引力，将贝叶斯分析应用于Markov机制转换模型分析上是对Markov机制转换模型的有益扩展，本文将对Markov机制转换模型的贝叶斯分析进行总结并详述它与各经典模型的结合。
关键词：Markov 状态转换 贝叶斯
一、引言
如果观察宏观经济或金融时间序列足够长的时间，则可以看到很多变量有许多戏剧性的变化。这种明显的变化可能源于战争、金融恐慌、或政府政策的显著变化。如果变量的历史数据已经给出，我们可以根据显著变化的次数将时间序列划分成不同阶段，然后分别建模。但是变量的显著变化没有理由不再发生，机制的变化肯定不能完全视作完全可预见的、确定性事件，此时，用历史数据分别拟合的模型来进行预测就不恰当了。Markov机制转换模型能将这种机制的转换作为一个内生变量，在模型的估计中用一个同一的模型来拟合，不仅可更加符合实际情况，而且有利于利用模型对未来进行预测。在Markov机制转换模型中，假定机制的转换是具有依赖性的，如果t时刻的机制只依赖于t-1时刻的机制，那么模型的变化是一阶的；如果t时刻的机制只依赖t-1和他－2时刻的机制，那么模型的变化是二阶的。再则，模型中一种机制对应时间序列的一种状态方式，对于平稳时间序列来说即对应一个均值和一个方差。根据经济理论，一些宏观经济或金融变量的时间序列在理论上是有不同的机制变化方式的，比如根据现代增长型经济周期理论，我们知道经济增长存在者显著的扩张和收缩两种状态的变化，如此，在对经济增长率的拟合模型中可以考虑设定两状态的模型。同时，模型对于机制即状态的设定是以概率分布的形式给出的，即对某一时刻变量所处的状态的判断不再是武断的，而是给出其在各种不状态上的一个概率分布，这样的设定在复杂的经济变量的变化中更符合现实也更具有科学性。
二、文献综述
时间序列的显著性变化可被视作为时间序列的内在生成机制的变化，如果这种生成机制的变化是一次性的，而且变化的时间点已知的话，我们可以用邹氏检验法来进行检验。如果这种结构性的变化是连续性的，并且变化的时间点并不确定，对此Markov机制转换模型能够将这种结构性的变化视作一种机制向另一种机制的转换，在模型的估计过程中能购将结构的变化内生化，因此该模型在识别数据变化过程中有其独特的一面。在国际上用Markov机制转换模型进行研究的文章很多，比较有代表性的则有：Hamilton（1989）用两状态四阶滞后的Markov模型研究了美国经济波动，很好地刻画了经济波动中的非线性动态和非对称性；Rence Garcia和Pierre Perron（1996）用三状态两阶滞后的Markov模型研究了美国1961～1986年的真实利率，结果表明事后真实利率的均值和方差有一定的随机性；Kim ,Nelson和Startz（1997）用异方差的三状态Markov模型研究了1926～1986年间美国股市的月收益，结果显示该模型非常好的刻画了股市月收益的数据生成过程。Chung-Ming Kuan（2002）用两变量的Markov模型研究了台湾的经济周期，结果显示该模型能很好的识别台湾的真实经济周期，对经济周期性的增长具有很好的预测效果。
国内用Markov模型进行研究的文献相对来说较少，主要有：王建军(2007)Markov机制转换模型研究及其在经济周期分析中的应用。郝立亚(2011)基于蒙特卡洛模拟的贝叶斯随机波动模型及应用研究。朱慧明，邓慧敏等(2013)：针对股市收益与通胀波动关系分析过程中随机参数条件下的建模问题，构建了贝叶斯Markov 转换VAR 模型。
三、Markov机制转换模型简介
考虑一个单变量y,,当t=1,2,.....,时,其数据生成过程符合简单的一阶自
回归过程:
(1)
其中.假设在t=时刻,变量必的序列均值发生了显著的变化,
那么对于t=+l,+2,则有:
(2)
则模型可设定为
(3)
这里是一个随机变量,在理论上当t=1,2,,时=1,当t=+l,+2,时=2。为了使模型(3)能够估计,需要知道状态变量取值的变化规律,一种简单可行的假设即假定状态变量气符合一阶两状态Markov过程:
(4)
从式(4)中我们可以知道,状态变量的取值仅仅依赖于其前一期的取值。从模型的设定中我们知道状态变量是不可观测的,即在现实中我们不能找到完美的指标刻画其表现的一些经济变量,比如经济周期中的扩张和紧缩状态。Hami1ton(1989)最早运用Markov机制转换模型研究美国经济增长率的研究,将经济周期的判断以及增长率指标的变化发展两者结合到一起,取得了很好的效果,并且开创了新的一种经济金融周期的分析模式。
在模型(2.1.3)一(2.1.4)的设定中我们知道随机变量的条件均值在时间上存在着变化,但其方差是保持一致的。在实际情况中很多变量不仅其条件均值可能存在着周期性变化,同时在不通状态下其波动的方差也存在着差异,模型就变成:
(5)
且
这样模型(5)中就考虑到变量条件方差也随状态变量的转移而变化。我们知道,研究变量条件方差变化的非常著名的模型是由Engel(1982)和BollerSlev(1986)提出的GARCH(general autoregressive eonditional heterskedasticity)实际应用中更多的是在GARCH模型中引入状态变量和Markov转换机制,这样研究金融变量的波动性问题上不仅考虑了变量波动的集聚效应,同时还考虑到变量波动性与相关市场周期之间的变化关系。首先我们来看一个GARCH(p,q)模型:
（6）
当模型(6)中不考虑人的滞后项则模型就为一个ARCH(p)模型。Cai(1994）研究引入机制转移状态变量的ARCH(p)模型:
(7)
Hamilton和Susmel(1994)提出了SWARCH(q)模型
(8)
从模型(7)和(8)我们可以看到变量的条件方差都存在着两种不同的状态,且两种状态之间相互转化"同时模型(7)与(8)又有不同之处,模型(7)只是ARCH项中左边一常数项在不同状态下有所变化,而模型(8)则是在不同状态下ARCH项之间存在着一个倍数的差异,当然两者都体现了存在着机制转移的条件异方差的模型。
如果将模型(7)和(8)扩展进而包括条件异方差的滞后项,即GARCH项,的取值存在着‘路径依赖’，这样模型的估计和计算就相当的复杂了，为此，Gray(l996)则根据对重新定义解决了这个问题,其模型如下
(9)
从模型(9)中我们可以看出，在计算的值的迭代过程中就不需要考虑全部()取值的可能情况了。同时在Gray的模型中还可以对变量条件均值也引入状态转移机制,此时模型定义如下
(10)
这里需要计算两个量的概率加权和:

与Cai(1994)!Hamilton和Susmel(1994)的模型相比较,Gray(1996)的状态机制转移GARCH模型能够在不加任何限制条件下对所有的GARCH参数中引入状态机制转移。同样,该模型也比前两个模型更具有弹性。
四、参数估计
前文分别介绍了基于条件均值和条件方差的两状态Markoy机制转换模型,在实际中,有些变量的变化可能存在更多的状态的情况,这里基于条件均值存在状态变化的模型,介绍多状态(状态数大于2)的Markov机制转换模型。设有模型如下:
(11)
其中状态变量的取值个数可大于2。
从此我们可以发现,以模型状态变量的概率转移矩阵中存在着k(k一l)个未知参数。当k=2时模型状态变量转移矩阵中只有两个未知参数,当k二3时模型状态转移矩阵中就有6个未知参数,当k越大则状态变量转移矩阵中的未知参数就越多,并且几乎接近于几何级数方式的增长"如此一来,模型设定中的状态变量个数越多大则模型需要估计的未知参数就成倍增长,这样对估计所需的样本数量的要求就越高,而且参数估计的精度也受到很大的限制，所以在目前实际应中仅只有两状态和三状态模型的应用。
前面介绍的基于条件均值的状态转换模型中,变量的滞后阶数仅是一阶的，而在实际应用中包含更高阶的滞后变量也十分普遍,所以对模型关于变量滞后阶数的扩展也是十分必要的。首先我们将模型(3)~(4)的关于变量的滞后阶数扩展到2阶。包含两阶滞后变量的Markov状态模型如下 (12)
其中，。但该模型的估计问题是一个非常复杂的问题，已有学者指出，当模型包含k个状态,p阶滞后变量的情况下,状态概率转移矩阵则就是一个k(P+l)阶的方阵。所以,当模型状态个数一定!模型所包含滞后变量的阶数增加的情况下,虽然模型未知参数并不会有太大的增加,但是模型估计过程中所需使用的状态变量的概率转移矩阵则成几何级数的扩大"此种情况下对模型的估计在计算和矩阵定义上造成相应的困难"特别是目前通用的计量软件中还没有估计该类模型的软件包,很多实际应用研究需要研究者自己根据需要编写估计程序,因此在实际应用中对于两状态模型滞后阶数目前最大的为四阶,而对于三状态模型最多只包含两阶的滞后变量。
为了方便介绍Markov机制转换模型的估计过程,我们以一个包含一阶滞后变量基于两状态条件均值的Markov机制转换模型为例,对其极大似然估计所需的似然函数进行推导。此时模型设定如下:
(13)
其中，且独立同分布。状态变量的取值为{1,2},并且符合一阶
Markov链过程此时,模型中包含有一阶滞后变量，这里我们需要重新构造一状态变量，使得
(14)
令表示从初始时刻到当前时刻t所有可观测的变量,通常称之为基于t时刻及之前的所有可观测的信息.因此也就有:
(15)
令表示基于所有至时刻才的可观测信息和参数对状态变量的推断概率,将状态变量各种取值概率构成一列向量记为同样地，就表示基于所有至时刻t-1的可观测信息和参数/对状态变量可观测信息的推断概率,记为根据贝叶斯公式有:
(16)
再由全概率公式,我们可以将式(16)等式右边依据状态变量的不同取值进行和就得到变量仅基于其滞后变量和参数的条件分布密度函数
(17)
因此我们就可以得到:
(18)
这里1表示各分量为1的四阶列向量,ʘ表示两个向量之间对应分量的点乘.。
而另外一个向量其涵义虽然有了,但其具体取值还没有定义,以下给出其取值定义
由贝叶斯公式的另一种表达形式有
(19)
再将公式(18)代入到(19)，既有
(20)
同时我们还有
(21)
到此,给定一个初始的,我们可以通过公式(20)和(21)进行迭代运算从而计算出所有的和这样所需的所有向量均可得到具体取值形式了,因此,就得如下模型的对数似然函数
(22)
公式(22)中,未知参数向量因为在公式(20)和(21)的迭代过程中我们使用了状态变量的概率转移矩阵,所以这里又多了两个未知参数.至于推算状态变量各时刻取值所需的初始向量通常有两种设定方法，一种较简单的方法就是设定各分量相等常数且各分量之和为1，另外一种方法就是取状态变量概率转移矩阵的特征向量,根据具有各态历经性Markov链的有关性质,可以推导出转移概率矩阵的特征向量表示状态变量无条件情况下取不同值的概率。此方法在实际应用中较多,其计算公式为
(23)
其中表示单位阵,的第(N+l)列,关于此设定的具体涵义及相关详细推导可参见Hamilton(1994).
最后,我们可以将所用样本数据带入模型的对数似然函数,运用数值计算中的最优化方法搜寻对数似然函数极大值,一并得到使得对数似然函数取得最大值的各参数估计值,即为我们所需的参数估计.
结束语
Markov机制转换模型较一般线性时间序列模型具有更大的灵活性,能更好的拟合具有持续结构变化的时间序列。所以,对Markoy机制转换模型的应用和研究在经济学领域属于前沿和热门的课题。本文对Markov机制转换模型的经典应用做了一些简单的介绍并且进行了初步的扩展，并试图用贝叶斯方法进行经典模型的参数估计，得出了其参数估计公式。
参考文献
[1]王建军.Markov机制转换模型研究及其在经济周期分析中的应用.[D].湖南大学.2011
[2]郝立亚(2011)基于蒙特卡洛模拟的贝叶斯随机波动模型及应用研究[D].湖南大学.2007
[3]朱慧明，邓慧敏等(2013)：基于贝叶斯Markov 转换模型的股市收益与
通胀波动关系研究[J].2013
[4] Rence Garcia,Pieerre Perron,《An analysis of the real interest rate under regimes shifts》，《The Review of Economics and Statistics》[J],1996.1
[5] 谢赤、刘潭秋，《人民币实际汇率中的马尔可夫转换行为》，《统计研究》[J],2003.9

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