工程数学(复变函数积分变换场论)59473.doc
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1、资料内容仅供您学习参考,如有不当或者侵权,请联系改正或者删除。 第六章 共形映射第一节 共形映射的概念第二节 分式线性映射第三节 唯一决定分式线性映射的条件第四节 几个初等函数所构成的映射 第一节 共形映射的概念第一节 共形映射的概念第六章一 有向曲线的切线方向共形映射二 解析函数的导数的几何意义三 共形映射的概念吴新民- 2 - 第一节 共形映射的概念一 有向曲线的切线方向复平面一条有向曲线 C能够用方程第六章z = z(t), (a t b )表示, 其中 z(t)为一连续函数。我们规定C 的正向为共形映射当 t 增大时点 z 移动的方向。由于z(t0 + Dt)- z(t0)Dtz(t0
2、) = limDt0z (= z(t0)0z (t )0z (t ) 0因此, 如果当 时, 将 看成起点为0的向量的话, 如图所示吴新民- 3 - 第一节 共形映射的概念z(t0)yz(t0)DzDtCDzDtCyDzDzz(t0)第六章z(t0)z(t0 + Dt)z(t0 + Dt)ooxx共形映射(Dt 0)(Dt 0)那么z(t )与曲线 C 相切于z0且指向C 正向的一个向量.0由此可得1) Argz(t0)就是曲线 C 在点z0处切向与x 轴正向z(t0 + Dt)- z(t0)之间的夹角。z(t ) = lim0DtC ,C1Dt02) 规定: 相交于一点两条曲线 2之间的在交
3、点处C ,C夹角就是 2在交点处正向切向之间的夹角。1吴新民- 4 - 第一节 共形映射的概念二 解析函数的导数的几何意义下面总假定函数 f (z) 在区域 D解析, z0 是 D内一点, 且 f (z0) 0.第六章又设 C是 z平面内任意一条经过 z0的光滑有向曲线, 其参数方程为共形映射z = z(t), a t bz = z(t0),z(t0) 0. 这样且 t 增大的方向为C 的正向, 0w = f (z0)0映射 w = f (z)就将曲线C映射成 w 平面经过的一条有向曲线 L, 其参数方程为w = f (z(t)其正向也为 t 增大方向。吴新民- 5 - 第一节 共形映射的概念
4、y(z)(w)vCLw = f (z)w0z第六章0ooxuArgw(t0)Argz(t0)Argf (z0)共形映射w(t0) = f (z )z (t0) 0由复合函数微分法, 有Argw(t0) = Argf (z0)+ Argz(t0)Argf (z0) = Argw(t0)- Argz(t0) (6.1.1)因此有即注意到 表示曲线 C 处的正向切向与 x轴Argz (t )z在00夹角, 表示L在 w0处正向切向与u轴的夹角。Argw (t )0吴新民- 6 - 第一节 共形映射的概念因此Argf (z )0 能够理解为: 曲线 C经过映射 w = f (z)后在z0处的转动角。利
5、用 (6.1.1) 式可得第六章这个转动角的大小、 方向都与曲线 C 的形状、 方向是无关的。因此这种映射称为具有转动角不变性。共形映射设 2是在z0处相交的两条有向曲线, 其参数方C ,C1程分别为 z = z1(t),z = z2(t) (a t b ), 而且z0 = z1(t0)= z2(t0), C1,C2在映射w = f (z)下的像分别为 L1,L2,为在 w0 = f (z0)相交的两条有向曲线, 她们的参数方程分别为 Argw =f w(z10()t)=Argf (zw1(tt)0),w- Arg= w2z(tt)0=) f (z2(t),吴新民- 7 - 第一节 共形映射的
6、概念L2yv(z)(w)L1C1qqC2w = f (z)z00w第六章ooxu利用公式 (6.1.1) 可得共形映射Argw (t )- Argz1(t0) = Argw (t )- Argz2(t0)2 01 0即Argw2(t0)- Argw (t ) = Argz2(t0)- Argz1(t0) (6.1.2)1 0这表明相交于z0的任意两条曲线 2的夹角在大小和C ,C1方向都等于经过映射 w = f (z)后所得的像 2的夹角L ,L1因此这种映射具有保持两曲线的夹角和方向的不变性。吴新民- 8 - 第一节 共形映射的概念这种性质称为保角性。| f (z ) |下面解释 的几何意义
7、0 w LDsy(z) Dsv(w) z C第六章rrjqw = f (z) z0w0共形映射ooxu设 z - z = reij , w - w = reiq , Ds为曲线 C 上介于00z0与z 之间的一段弧长, Ds 为曲线 L 上介于w0与 w之间的一段弧长。由于DsrrDsww0lim = lim = lim = 1rDszz0zz0吴新民- 9 - 第一节 共形映射的概念因此-z - z0r Ds Dsiqrew w0| f (z0) |= lim |= lim | j |reizzzz00第六章Ds Ds r ei(q -j ) |=lim |0zz即有共形映射DsDs| f
8、(z0) |= lim(6.1.3)zz0这个极限值称为曲线 C在z0处的伸缩率。(6.1.3) 表明: | f (z0) |w f (z)=是经过映射 后经过z0的任何曲线C 在 z0处的伸缩率, 它与曲线 C 的形状和方向是无关的。映射的这种性质称为伸缩率不变性。吴新民- 10 - 第一节 共形映射的概念综上所述, 我们有如下定理: 设函数 w = f (z) 在区域 D内解析, z0 D,定理1且 那么映射w = f (z)在点z0处具有两个f (z ) 0,第六章0性质: 1) 保角性, 即经过 z0的任意两条曲线间的夹角与经过映射后所得的两条曲线的夹角在大小和方向上是保持不变的。共形
9、映射2) 伸缩率不变性, 即经过z0的任意一条曲线的伸| f (z ) |缩率均为 而与该曲线的形状与方向无关。0吴新民- 11 - 第一节 共形映射的概念二 共形映射的概念第六章定义 设函数 w = f (z)在点 z0的某个领域内是一一的, 且在z0处具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射共形映射w = f (z)在点 z0 处是共形的, 或称 是 zw f (z)=0处的共形映射。如果映射w = f (z)在区域 D上每一点都是共形的, 则称映射w = f (z)为区域 D上的共形映射。吴新民- 12 - 第一节 共形映射的概念根据共形映射的定义与定理1我们有定理2 设函数 w = f (
10、z) 在 z0 处解析, 且f (z0) 0,Argf (z0)第六章则映射w = f (z)为z0 处的共形映射。而且为映射 w = f (z) 在z0 处的转动角, 为映射| f (z ) |0共形映射w = f (z0) 的伸缩率。如果解析函数 w = f (z) 在区=w f (z)f (z) 0,域 D 内每一点都有 那么映射 为D上的共形映射。吴新民- 13 - 第一节 共形映射的概念p zz i=例 求映射w = z2 + e在点 出的转动角和2伸缩率p z= (2 + p2 )i= + p(2z e)z=i第六章解 w2z=i2共形映射转动角Arg(2 + p )i = p2
11、2| (2 + p2 )i | = 2+ p2伸缩率吴新民- 14 - 第一节 共形映射的概念如果一个映射具有伸缩率不变性, 且仅保持两曲线的夹角的大小不变但方向相反, 那么这个映射称为第第六章二类共形映射。C2yC1共形映射例如 w = z为第二a类共形映射。oxaL1L2吴新民- 15 - 第二节 分式线性映射第二节 分式线性映射第六章一 分式线性映射的一般概念共形映射二 分式线性映射的分解三 分式线性映射的性质吴新民- 16 - 第二节 分式线性映射一 分式线性映射的一般概念称映射w = az + b第六章(ad - bc 0)(6.2.1)cz + d共形映射为分式线性映射, 其中a,
12、b,c,d 均为常数。由于ad - bc2 0w =(cz d)+因此分式线性映射在复平面上除满足cz + d = 0 的点外是共形的。吴新民- 17 - 第二节 分式线性映射分式线性映射是一个双线性映射, 这是因为它的逆映射z = -dw + bcw - a (-d)(-a)- bc 0)第六章也是一个分式线性映射。共形映射两个分式线性映射的复合仍是一个分式线性映射吴新民- 18 - 第二节 分式线性映射二 分式线性映射的分解分式线性映射能够表示为第六章ad 1 aw = (b - ) +c cz + d c因此分式线性映射能够分解下列三种特殊映射的复合共形映射1w = z + b, w =
13、 az (a 0), w = z下面讨论这三种特殊的映射, 为了方便起见, 我们将 w 平面看成与 z 平面重合。1) w = z + b 是一个平移映射。吴新民- 19 - 第二节 分式线性映射y事实上, 如果将 b 看成一个b z + b z向量的话, z + b 就能够看成将b点 沿 的方向移动 | b | 个单z b第六章ox位的距离所得的点。共形映射2) w = az(a 0)是一个旋转、 伸缩映射。y= r ija e ,事实上, 如果记 则azaz 就是这样一个向量: 首先将z 旋转一个角度 j得到一个向ejijzzox量eijz, 再将其伸长(或缩短)| a |倍后就得到了 w
14、 = az.吴新民- 20 - 第二节 分式线性映射3) 称 w = 1z为反演映射。C为了了解这个映射的几何解释O PPR第六章我们首先定义关于已知圆周的对称点共形映射设 C 是以 O为心, R 为半径的圆周, 对于复平面异于O的任意一点 P,在从 O出发的指向 P的射线上P ,取点 使得| OP | OP |= R2则称 P与P是关于圆周 C的对称点。规定, 圆心 O 关于圆周 C的对称点为无穷远点。吴新民- 21 - 第二节 分式线性映射y1z 和将 w = 1z 分解为 w1 = zw11= r ijw = w ,记 则z e , =w eij11r第六章oxw因此 Argw1 = A
15、rgz, | w1 | z |= 1,由此可得 w1与 z 为关于单位圆周的对称点。因此共形映射1w =z 是这样一个映射: 首先将点 z 映射成 z 关于w ,1单位圆周的对称点 然后将 w1 映射成 w1关于实轴的对称点 w.吴新民- 22 - 第二节 分式线性映射三 分式线性映射的性质1) 保角性第六章首先讨论 w = 1z 的保角性, 由于此映射将 z = 01w = , z = =映射成 w = 0,因此 w z 在映射成 将共形映射扩充复平面上是一一的映射。又由于w = - 12 0z1因此 w = z 是在扩充复平面上除点 z = 0,z = 外的共形映射。吴新民- 23 - 第
16、二节 分式线性映射我们规定两条伸向无穷远点的曲线在无穷远点的夹角在大小、 方向上都与它们在映射z = 1z下所映成的通第六章过原点的两条曲线在原点处的夹角大小、 方向相同。1w = = z z =因此由于映射 在 0处是解析的, 且有z共形映射1z = =w (z ) = 1,因此 w = z z = 0处, 即w z 在在1z = = z z 0=处是共形的, 反之由于 在 解析, 且有w1z (z) = 1, 因此z = z 在 z = 0 处, 即 w z 在 z = 0=处是共形的。综上所述我们有: 吴新民- 24 - 第二节 分式线性映射1映射w = 是扩充复平面上的共形映射。z其次
17、我们将讨论w = az + b(a 0)在扩充复平面的第六章保角性。显然 w = az + b在扩充复平面上是一一映射, 由于w = a 0,因此 w = az + b 在复平面上是共形的, 共形映射为了讨论这个映射在 z = 处的共形问题, 我们令: 1 1w = ,z = ,则h =h zza + bz , 且a(a + bz )2 z =0= 1 0ah z =0 =吴新民- 25 - 第二节 分式线性映射z因此 h = bz + aw = az + b = 在z = 0处, 即 在 处z是共形的, 因此有w = az + b(a 0)是扩充复平面上的第六章共形映射。定理1共形映射分式线
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