高考立体几何文科大题与答案.doc

高考立体几何大题及答案
1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。
（I）证明：是侧棱的中点；
求二面角的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BA
C
B
A1
B1
C1
D
E
D-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

3.（2009浙江卷文）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．

4.（2009北京卷文）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面平面.

6.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD：. （Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。

7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．

8.（2009四川卷文）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，求证： ∥
（III）求二面角的大小。

9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

11.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；
（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

12.（2009四川卷文）
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：；
（II）设线段、的中点分别为、，
求证： ∥
（III）求二面角的大小。

13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.
(Ⅰ)证明：；C
B
A
C1
B1
A1

（Ⅱ）求二面角A——B的大小。

14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 （Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若，且平面⊥平面，
求三棱锥体积。

15.（2009福建卷文）如图，平行四边形中，，将
沿折起到的位置，使平面平面
（I）求证：
（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。

16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．

17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG

参考答案

1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E，
连ME、NB，则面，,
设，则,
在中，。
在中由
解得，从而 M为侧棱的中点M.
解法二:过作的平行线.

（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.
解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。
S
A
B
C
D
M
z
x
y

（Ⅰ）设，则
，
，由题得
，即
解之个方程组得即
所以是侧棱的中点。
法2：设，则
又
故，即
，解得，
所以是侧棱的中点。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，
设分别是平面、的法向量，则
且，即且
分别令得，即
，
∴
二面角的大小。
2、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=600..
设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。
由得2AD=，解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。.
因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，
所以∠ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.
解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量则
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，c）,故
令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以与平面所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中， ，
所以

4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE//PD，，又∵，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

5、

6、【解析】(1)由于EA=ED且
点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.
又ABCD是四方形
线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线
即点EF都居线段AD的垂直平分线上. .
所以,直线EF垂直平分线段AD.
(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .
—ABCD

又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC
多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=
7、解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以 就是与平面所成的角，
且

所求角为
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，
设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，
所求角的大小为.
（3）设所求距离为，由，得：

8、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
…………………………………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为
…………………………………………12分
解法二: 因等腰直角三角形，，所以

又因为平面，所以⊥平面，
所以
即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I) 设，则，
∵，∴，
从而
，
于是，
∴⊥,⊥
∵平面，平面，
∴
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，
故∥平面
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（

即
取，则，，从而＝（1，1，3）
取平面D的一个法向量为

故二面角的大小为

9、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。
SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得ACBE.
(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。
过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，
故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°
在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由cot60°=

得， 即=3
， 解得=
10、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）解法 1: 过点A作AF垂直于点,
连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故是直线AD和
平面所成的角。 因为DE，
所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=，AE=4-CE=4-=3.
又因为，所以E= = 4,
, .
即直线AD和平面所成角的正弦值为 .
解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).
易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.
设是平面的一个法向量，则

解得.
故可取.于是

= .
由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .
11解（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.
所以 ……6分
（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， …..8分
则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，
由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.
又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,
所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分

12、【解析】解法一：
因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF.
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以
…………………………………………6分
（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.
∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.
∵ FA=FE,∠AEF=45°,
∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角的大小为
…………………………………………12分
解法二: 因等腰直角三角形，，所以
又因为平面，所以⊥平面，所以
即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,
(I) 设，则，

∵，∴，
从而
，
于是，
∴⊥,⊥
∵平面，平面，
∴
（II），从而
于是
∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，
故∥平面
（III）设平面的一个法向量为，并设＝（

即
取，则，，从而＝（1，1，3）
取平面D的一个法向量为

故二面角的大小为

13、解析：解答1（Ⅰ）
因为三棱柱为直三棱柱所以
在中
由正弦定理得所以
即，所以又因为所以
（Ⅱ）如图所示，作交于，连，由三垂线定理可得
所以为所求角，在中，，在中， ，所以

所以所成角是

14、解：（Ⅰ）因为是等边三角形，,
所以,可得。
如图，取中点，连结,,
则,,
所以平面,
所以。 ．．．．．．6分

（Ⅱ）作，垂足为，连结．
因为，
所以，．
由已知，平面平面，故．　　　　　　　　．．．．．．8分
因为，所以都是等腰直角三角形。
由已知，得， 的面积．
因为平面，
所以三角锥的体积
．．．．．．．12分

15、（I）证明：在中，

又平面平面
平面平面平面
平面
平面
（Ⅱ）解：由（I）知从而
在中，

又平面平面

平面平面，平面
而平面
综上，三棱锥的侧面积，

16、解法一:（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。
在中，
由平面，得AD，从而在中，
。即直线到平面的距离为。
（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE
，所以，为二面角的平面角，记为.
在中, ,由得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则

A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥，
面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而
,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.
,故有 ② 联立①,②解得, .
为直线AB到面的距离. 而 所以
（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由
得,解得.即.故
由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以

17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　　（２）该安全标识墩的体积为：

　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；.

单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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