工程数学(复变函数积分变换场论).doc
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1、资料内容仅供您学习参考,如有不当或者侵权,请联系改正或者删除。 第三章 复变函数的积分第一节 复变函数积分的概念第二节 柯西-古萨基本定理第三节 原函数与不定积分第四节 柯西积分公式第五节 解析函数与调和函数的关系 第一节复变函数积分的概念第一节 复变函数积分的概念第三章一复变函数积分的定义复变函数的积分二积分存在的条件及其计算法三积分的性质吴新民- 2 - 第一节复变函数积分的概念一复变函数积分的定义第三章设 C是复平面一条光滑( 或按段光滑) 的曲线, 如果选定 C的两个可能的方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们能够将 C理解为带有方向的曲线, 称复变函数的积分为有向曲线, 如果
2、C是一条以 A与 B为端点的有向曲线, 如果从A到 B为 C的正向, 则称从 B到 A方向为正向的有向曲线称为 C反向曲线, 记为 C -。除特别声明外, 有向曲线C的正向总是指起点到终点的方向, 对一简单闭曲线总是指逆时针方向。吴新民- 3 - 第一节复变函数积分的概念定义设函数 w = f (z)在区域 D有定义, C为D内一条以 A为起点 B为终点的光滑的有向曲线, 第三章如果将曲线 C从起点到终点依次任意分成 n个小弧段, 分点为A = z0,z1,z2,L,zk-1,zk,L,zn = B复变函数的积分在每个小弧段 zk-1zkz ,任取一点 作和式knnf (zk)(zk - zk
3、-1) = f (zk)Dzkk=1k=1记 Dsk为小弧段z z小的弧长, d = maxDsk,当 dk-1 k1kn趋向于零时, 如果对 C的无论怎样分法及 z在小k弧段上的无论怎样取法, 和式有唯一的极限, 则称吴新民- 4 - 第一节复变函数积分的概念极限值为函数 f (z)在 C上的积分, 记作 f (z)dz。即nC(3.1.1)f (z)dz = lim f (zk)Dzk第三章d0k=1C如果 C是闭曲线, 则我们将沿闭曲线的积分记为: 复变函数的积分f (z)dzC吴新民- 5 - 第一节复变函数积分的概念二积分存在的条件及其计算法设光滑曲线 C是由方程: z = z(t)
4、 = x(t)+ iy(t) t a,b(b,a)第三章确定, 其正向是从起点 A到终点B的方向, 其中a为A b起点参数, 是终点 B的参数, 且复变函数的积分z(t) = x(t)+ iy(t) 0如果函数 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y)在区域 D上连续, 即 u(x, y)、 v(x, y)为D上的连续函数。设 zk = xk + ihk由于Dz = zk - zk-1= xk - xk-1 + i( yk - yk-1) = Dxk + iDyk吴新民- 6 - 第一节复变函数积分的概念因此nn f (z )Dz = u(xk,hk)Dxk - v(xk,hk)Dy
5、kkkk=0k=1第三章n+ i v(xk,hk)Dxk + u(xk,hk)Dykk=1复变函数的积分由线积分存在定理得, 当 d 0上面的两个和式的极限都是存在的, 且有 f (z)dz = udx - vdy + i vdx + udy (3.1.2)CCC(3.1.2)表明: 1) 当 f (z)是连续函数, C是光滑曲线, 则 f (z)dzC一定存在; 吴新民- 7 - 第一节复变函数积分的概念2) 计算复函数的积分能够转化为计算两个平面上对坐标的曲线积分。第三章根据对坐标的曲线积分的计算法, 有 u(x, y)dx - v(x, y)dyC复变函数的积分b= u(x(t), y(
6、t)x(t)- v(x(t), y(t)y(t)dta v(x, y)dx + u(x, y)dyCb= v(x(t), y(t)x(t)+ u(x(t), y(t)y(t)dtab f (z)dz = f (z(t)z(t)dt(3.1.3)因此aC吴新民- 8 - 第一节复变函数积分的概念如果 C是分段光滑的有向曲线, 即 C是由几段光滑的有向曲线C1,C2,L,Cm依次首尾相接而构成的, 则第三章我们规定: m f (z)dz = f (z)dz(3.1.4)复变函数的积分k=1CCk例1计算积分 zdz,其中 C为C1) 从原点 O沿曲线z = t + ti到点 1+ i;2= 2 +
7、 it到点2) 从原点 O沿曲线 z t1+ i;3) 从原点O沿实轴到点1, 再平行于虚轴到点1+ i。吴新民- 9 - 第一节复变函数积分的概念1 zdz (t it2) (1+ 2it)dt y= +解1) Cz = t + it 201= +2z t it)dt = iA 1+ i= (t - 2t3+ 3 it2第三章01 zdz =(t2 + it) (2t + i)dtOxB2) 复变函数的积分01C)dt = i= (2t3- t + 3 it203) C = C1 + C2, C1 : z = x,从 x = 0到 x = 1,到 y = 1。C2 : z = 1+ iy,从
8、 y = 0 11zdz = zdz + zdz = xdx (1 iy)idy = i+ +00CCC21吴新民- 10 - 第一节复变函数积分的概念例2计算积分 zdz,其中 C为Ci到点 1+ i;z = t + t2O1) 从原点 沿曲线= 2 +第三章2) 从原点 O沿曲线 z t it到点1+ i;3) 从原点O沿实轴到点1, 再平行于虚轴到点1 + i。复变函数的积分y1zdz = -(t it2)(1+ 2it)dt解z = t + it 21) 0CA 1+ iz t= 2 + it= + i+ it2)dt 11= (t + 2t330Ox zdz =1(t2 - it)(
9、2t + i)dt2) 0C)dt = 1- i1= (2t3+ t - it230吴新民- 11 - 第一节复变函数积分的概念C = C1 + C2,3) C1 : z = x,从 x = 0到 x = 1,第三章 C2 : z = 1+ iy,从 y = 0到 y = 1。 zdz = zdz + zdz复变函数的积分CCC2y1z = t + it 2z = t 2 + itA 1+ i101+ -= xdx (1 iy)idy0= 1+ iOxB吴新民- 12 - 第一节复变函数积分的概念例3设C为正向圆周 | z |= 1,计算: (x2 - y2 + 2xyi)dz;( y + x
10、i)dz .1) 2) 第三章CC解利用 (3.1.2)与格林公式, 复变函数的积分= (x2- y2)dx - 2xydy1) 原式C+ i 2xydx + (x - y )dy = 02 2C 2) 原式= ydx - xdy + i xdx + ydyCC= -2pdz = dx + idy吴新民- 13 - 第一节复变函数积分的概念例4 设 C为正向圆周: | z - z0 |= r( 0),计算1(z - z0)n dzC第三章n为正整数。其中, 解设 C的方程为 z = z + reij, j2 ,p从 0 到 则复变函数的积分02p ireijdjr neinjdz(z z )-
11、 = 02p= ir1-ne-i(n-1)jdjn0C0因此, 当 n = 1时, dzz - z02p= idj = 2pi0C吴新民- 14 - 第一节复变函数积分的概念当 n 1时, dz(z z )-2p = ir1 n- -i(n-1)jdjen0第三章0Cin-12p (cos(n-1)j - isin(n-1)j)dj = 0=复变函数的积分r0即n = 1n 12pi1(z - z0)n dz =(3.1.5)0C吴新民- 15 - 第一节复变函数积分的概念三积分的性质 f (z)dz = - f (z)dz(3.1.6)(3.1.7)1) 第三章2) -CC af (z)dz
12、 = a f (z)dz, (a为常数)CC( f (z)+ g(z)dz = f (z)dz + g(z)dz (3.1.8) C复变函数的积分3) CC 4) | f (z)dz | | f (z)| ds(3.1.9)CC特别, 当曲线 C弧长为 L时, f (z)在 C上满足| f (z)| M则有| f (z)dz | ML(3.1.10)C吴新民- 16 - 第一节复变函数积分的概念(3.1.9)式的证明: 在 (3.1.1)式中, 由于| Dzk |表示zk-1第三章则Ds z到 zk的距离, 记 为 k-1到 zk的曲线段的弧长, knn | f (z )Dz | | f (z
13、k)| Dskkk复变函数的积分k=1k=1两边取极限即得 (3.1.9)。吴新民- 17 - 第二节 柯西-古萨定理第二节柯西-古萨定理第三章一柯西-古萨定理复变函数的积分二复合闭路定理吴新民- 18 - 第二节 柯西-古萨定理一柯西-古萨定理设D为复平面上的单连通区域, f (z) = u+ iv为 D第三章上的解析函数, C为D内的一条正向简单闭曲线, 由上节公式 (3.1.2)知复变函数的积分 Cf (z) D f (z)dz = udx - vdy + i vdx + udyCC由于 在上解析, 从而在 D上即在 C所围的区内满足柯西黎曼条件: ux = v y, vx = -uy因
14、此, 对上面的两个曲线积分使用格林公式可得吴新民- 19 - 第二节 柯西-古萨定理udx - vdy = (-vx - uy)dxdy = 0D1Cvdx + udy = 0第三章C即 f (z)dz = 0复变函数的积分C因此有定理( 柯西古萨基本定理) 如果函数 w = f (z)在单连通区域 B内解析, C是 B内的一条正向简单闭曲线, 则f (z)dz = 0(3.2.1)C吴新民- 20 - 第二节 柯西-古萨定理我们能够将柯西古萨基本定理作一修改: 如果函数w = f (z)在区域 B内解析, C是 B内的第三章一条正向简单闭曲线, 且所围的区域仍完全落在B内, f (z)dz
15、= 0.则复变函数的积分C事实上, 我们能够将BC分成两个区域, 其中的一个为包含 C的单连通区域D ,在 D上对 C使用柯西古萨定理即可。DB吴新民- 21 - 第二节 柯西-古萨定理更一般可知: 设C为正向简单闭曲线, f (z)在C上及C内解析, 则第三章f (z)dz = 0C由此可得: 当 C是不经过且不包围点z0的一条正向简单闭曲线, 则复变函数的积分1(z - z0)n dz = 0(3.2.2)C吴新民- 22 - 第二节 柯西-古萨定理二复合闭路定理设 D为复平面的一个区域, f (z)在D内解析, C,C1第三章为 D内两条正向简单闭曲线, 且 C1在 C的内部, C,C1
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- 工程 数学 函数 积分 变换 场论
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