主成分分析法.pptx
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1、7.1 引言v主成分分析(或称主分量分析,principal component analysis)由皮尔逊(Pearson,1901)首先引入,后来被霍特林(Hotelling,1933)发展了。v主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分(即综合变量)的统计分析方法。这些主成分能够反映原始变量的绝大部分信息,它们通常表示为原始变量的某种线性组合。v主成分分析的一般目的是:(1)变量的降维;(2)主成分的解释。寻找主成分的正交旋转 v旋转公式:7.2 总体的主成分v一、主成分的定义及导出v二、主成分的性质v三、从相关阵出发求主成分一、主成分的定义及导出v设 为一个 维随机向量,
2、。考虑如下的线性变换 希望在约束条件 下寻求向量 ,使 得 达到最大,就称为第一主成分。v设 为 的特征值,为相应的单位特征向量,且相互正交。则可求得第一主成分为 它的方差具有最大值 。v如果第一主成分所含信息不够多,还不足以代表原始的 个变量,则需考虑再使用一个综合变 量 ,为使 所含的信息与 不重叠,应要求 我们在此条件和约束条件 下寻求向量 ,使得 达到最大,所求的 称为第二主成分。求得的第二主成分为 其方差为 。v一般来说,的第 主成分是指:在约束条件 和 下寻求 ,使 得 达到最大。第 主成分为主成分的几何意义v在几何上,表明了第 主成分的方向,是 在 上的投影值(即投影长度),是这
3、些值的方差,它反映了在 上投影点的分散程度。v记 ,则主成分向量 与原始向量 有如下关系:该正交变换的几何意义是将 中由 构成的原 维坐标轴作一正交旋转,一组正交单位向 量 表明了 个新坐标轴的方向,这些新坐标轴彼此仍保持正交(或说垂直)。二、主成分的性质v1.主成分向量的协方差矩阵 其中 ,即 ,且 互不相关。v2.主成分的总方差 由于 故 或v总方差中属于第 主成分 (或被 所解释)的比例为 称为主成分 的贡献率。v第一主成分 的贡献率最大,表明它解释原始变量 的能力最强,而 的解释能力依次递减。v主成分分析的目的就是为了减少变量的个数,因而一般是不会使用所有 个主成分的,忽略一些带有较小
4、方差的主成分将不会给总方差带来大的影响。v前 个主成分的贡献率之和 称为主成分 的累计贡献率,它表明 解释 的能力。v通常取(相对于 )较小的 ,使得累计贡献达到一个较高的百分比(如8090)。此时,可用来代替 ,从而达到降维的目的,而信息的损失却不多。v3.原始变量 与主成分 之间的相关系数 v在实际应用中,通常我们只对 与 的相关系数感兴趣。三、从相关阵出发求主成分v现比较本例中从 出发和例7.2.2中从 出发的主成分计算结果。从 出发的 的贡献率0.705明显小于从 出发的 的贡献率0.938,事实上,原始变量方差之间的差异越大,这一点也就倾向于越明显,(7.2.15)式有助于我们理解之
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