二叉树模型与美式期权金融工程与风险管理南京大学林辉.pptx
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1、CopyrightLinhui,Department of Finance,Nanjing University1金融工程与风险管理金融工程与风险管理第第6章章 二叉树模型与美式期权二叉树模型与美式期权26.1 概述概述二叉树期权定价(二叉树期权定价(Binomial option Pricing Model)由)由Cox,Ross,Rubinstein等人提出等人提出为期权定价模型为为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简模型提供一种比较简单和直观的方法单和直观的方法二叉树模型已经成为建立复杂期权(美式二叉树模型已经成为建立复杂期权(美式期权和奇异期权)定价模型的基本手段期权和奇异期权)定价
2、模型的基本手段对于所有不能给出解析式的期权,都可以对于所有不能给出解析式的期权,都可以通过二叉树模型给出。通过二叉树模型给出。3A Simple Binomial ModelA stock price is currently$20In three months it will be either$22 or$18Stock Price=$22Stock Price=$18Stock price=$204Stock Price=$22Option Price=$1Stock Price=$18Option Price=$0Stock price=$20Option Price=?A 3-mon
3、th call option on the stock has a strike price of 21.5Consider the Portfolio:long D D sharesshort 1 call optionPortfolio is riskless when 22D D 1=18D D or D D=0.2522 D D 118D DSetting Up a Riskless PortfolioD股股票股股票1份期权份期权=无风险证券无风险证券1份期权份期权=D D股股股股票票-无风险证券无风险证券66.2 单期二叉树期权定价模型单期二叉树期权定价模型考虑一个买权在当前时刻考虑
4、一个买权在当前时刻t,下期,下期t=T到期,中间到期,中间只有只有1期,期,=T-t假设该买权的标的股票是假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为变量。当前股票价格为st=S是已知的,到期股票价是已知的,到期股票价格为格为sT,且满足且满足其中,其中,u为上涨因子,为上涨因子,d为下跌因子为下跌因子7sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题:问题:如何确定该期权在当前时刻如何确定该期权在当前时刻t的价值的价值ct?设想:设想:构造如下投资组合,以无风险利率构造如下投资组合,以无风险利率r借入资金借入资金B(相当于无风险债券空头),并且在股票市
5、场上购(相当于无风险债券空头),并且在股票市场上购入入N股股票(股票多头)。股股票(股票多头)。目的目的:在买权到期日,上述投资组合的价值特征与买:在买权到期日,上述投资组合的价值特征与买权完全相同。权完全相同。8在当前时刻在当前时刻t,已知股票的价格为,已知股票的价格为s,构造上述组合的成本,构造上述组合的成本为为在到期时刻在到期时刻T,若希望该组合的价值,若希望该组合的价值v与买权的价值完全与买权的价值完全相同则必须满足相同则必须满足由上两式得到由上两式得到由此得到的组合由此得到的组合 称为合成期权(称为合成期权(synthetic option),),由无套利定价原则,在当前时刻由无套利
6、定价原则,在当前时刻t买权的价值为买权的价值为10例子例子假设有假设有1个股票买权合约,到期日为个股票买权合约,到期日为1年,执行价格为年,执行价格为112美元,股票当前的价格为美元,股票当前的价格为100美元,无风险利率为美元,无风险利率为8(连(连续复利折算为单利)。在到期日股票的价格有两种可能:续复利折算为单利)。在到期日股票的价格有两种可能:180美元或者美元或者60美元,求期权的价值?美元,求期权的价值?sT=su=us180sT=sd=ds=60stq1-qct?cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=01112Dicussion:Ris
7、k-neutral probability1.p is Risk-neutral probability for all securities。stocks expected relative return is Options expected relative return is So,p is a variable which make riskful stock and call options expected return are both only riskless interest rate.For the above reason,We call p“risk neutral
8、 probability”.13Dicussion:Risk-neutral probability2.在风险中性世界中,主观概率在风险中性世界中,主观概率q没有出现。没有出现。虽然个人对虽然个人对q的信念是不同的,但是在期权的定价过的信念是不同的,但是在期权的定价过程中并没有涉及到程中并没有涉及到q,也就是人们对,也就是人们对q认识的分歧并认识的分歧并不影响对期权的定价结果。不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率投资者最终都一致风险中性概率p,它只取决于,它只取决于r,u,d这三个客观因子。这三个客观因子。14Dicussion:Risk-neutral probability
9、风险中性世界,不必考虑风险,这等价于假设投资者是风风险中性世界,不必考虑风险,这等价于假设投资者是风险中性的。险中性的。若在期初构造如下组合:以若在期初构造如下组合:以S的价格买入的价格买入N股股票,同时股股票,同时以以c的价格卖出的价格卖出1个期权,则该组合的投资成本为个期权,则该组合的投资成本为NSc必必然等于然等于B。若若sTsu若若sTSd15投资者虽然投资于有风险的股票和期权,但是由投资者虽然投资于有风险的股票和期权,但是由二者构成的组合二者构成的组合NSc,即相当于投资,即相当于投资1个无风险个无风险的证券。的证券。组合的贴现率只能是无风险利率组合的贴现率只能是无风险利率由于是无风
10、险证券,对于理性投资者,不论其偏由于是无风险证券,对于理性投资者,不论其偏好如何,其风险态度对于这样的组合是无关紧要。好如何,其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可,由此大大简化资产的只要考虑收益的大小即可,由此大大简化资产的定价。定价。基于上述的理由,只要以上述方式构建投资组合基于上述的理由,只要以上述方式构建投资组合来对期权定价,就等价于来对期权定价,就等价于假设投资者是风险中性假设投资者是风险中性的,既然是风险中性的,则对这样的组合定价就的,既然是风险中性的,则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。不必考虑风险问题。16由于标的资产市场价格是由于标的资产市场价格是1个连
11、续(接近连续)的随机变个连续(接近连续)的随机变量,不可能只有量,不可能只有2种情形,因此可以考虑将时间种情形,因此可以考虑将时间T-t分为多分为多段处理,首先介绍两阶段模型。段处理,首先介绍两阶段模型。6.3 两阶段二叉树定价模型两阶段二叉树定价模型两阶段模型(两阶段模型(Two-step binomial tree)若把从定价日若把从定价日t至到期日至到期日T的时间区间的时间区间T-t,划分为,划分为2个个阶段,在每阶段,在每1个阶段,仍然假设标的资产价格只可能取个阶段,仍然假设标的资产价格只可能取2种状态,上涨和下跌,种状态,上涨和下跌,且上涨和下跌的幅度相等且上涨和下跌的幅度相等,则第
12、,则第2阶段结束时候(阶段结束时候(t=T),标的资产价格的取值为),标的资产价格的取值为3个,个,并且令并且令h为每个阶段的时间长度为每个阶段的时间长度17两阶段模型示意图两阶段模型示意图stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中,其中,u1/d18第第2期本来有期本来有4种状态,为简化分析,不妨规定种状态,为简化分析,不妨规定u=1/d,则第则第2、3两种状态为同一结果,故将其合并。两种状态为同一结果,故将其合并。期权到期日价值的期权到期日价值的所有可能值为所有可能值为两阶段模型两阶段模型19由由1阶段模型可知,在风险中性条件下阶段模型可知,在风
13、险中性条件下注意:风险中性概率注意:风险中性概率p只与只与r,h,u,d有关,当上有关,当上述值确定下来后,两个阶段的述值确定下来后,两个阶段的p就完全相同,这也就完全相同,这也正是阶段平分的优点。正是阶段平分的优点。20当前时刻当前时刻t,期权的价值为,期权的价值为21定价思路:倒推定价法定价思路:倒推定价法1.首先得到首先得到2期节点的股票价格,从而得到期节点的股票价格,从而得到该期的期权价格。该期的期权价格。2.采用风险中性定价,通过贴现得到采用风险中性定价,通过贴现得到1期节期节点的股票价格和期权价格。点的股票价格和期权价格。3.由由1期的股票价格得到期权价格,得到当期的股票价格得到期
14、权价格,得到当前期权的价格。前期权的价格。4.风险中性定价下,每一期的风险中性概率风险中性定价下,每一期的风险中性概率都是相同的。都是相同的。22将定价日将定价日t到到期日到到期日T的时间进一步等分为的时间进一步等分为n个阶个阶段,每个阶段的长度为段,每个阶段的长度为h6.4 n阶段二叉树定价模型阶段二叉树定价模型标的资产在到期日的状态可能取值为标的资产在到期日的状态可能取值为n1个个.若若n,即每个阶段所对应的长度无穷小,则完全,即每个阶段所对应的长度无穷小,则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。过程。数学意义:根据中心极限定
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