Matlab基础:实验四 求微分方程的解.doc
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1、实验四求微分方程的解一、问题背景与实验目的实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程,绝大多数都是微分方程,真正能得到代数方程的机会很少另一方面,能够求解的微分方程也是十分有限的,特别是高阶方程和偏微分方程(组)这就要求我们必须研究微分方程(组)的解法,既要研究微分方程(组)的解析解法(精确解),更要研究微分方程(组)的数值解法(近似解)对微分方程(组)的解析解法(精确解),Matlab 有专门的函数可以用,本实验将作一定的介绍本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法(近似解),重点介绍 Euler 折线法二、相关函数(命令)及简介1dsolve(equ1,equ2,):Matlab 求微分方
2、程的解析解equ1、equ2、为方程(或条件)写方程(或条件)时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数,用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数,依此类推2simplify(s):对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简例如:syms xsimplify(sin(x)2 + cos(x)2)ans=13r,how=simple(s):由于 Matlab 提供了多种化简规则,simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简,然后用 r 返回最简形式,how 返回形成这种形式所用的规则例如:syms xr,how=simple(cos(x)2-sin(x)2)r = cos(2
3、*x)how = combine4T,Y = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的数值解说明:(1) 其中的 solver为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一(2) odefun 是显式常微分方程:(3) 在积分区间 tspan=上,从到,用初始条件求解(4) 要获得问题在其他指定时间点上的解,则令 tspan= (要求是单调的)(5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题,为此,Matlab 提供了多种求解器 Solver,对于不同的ODE 问题,采用不同的Solver求解器Solv
4、erODE类型特点说明ode45非刚性 单步算法;4、5阶Runge-Kutta方程;累计截断误差达大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法;2、3阶Runge-Kutta方程;累计截断误差达使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法;Adams算法;高低精度均可到计算时间比 ode45 短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法;Gears反向数值微分;精度中等若 ode45 失效时,可尝试使用ode23s刚性单步法;2阶 Rosebrock 算法;低精度当精度较低时,计算时间比 ode15s 短ode23tb刚性梯形算法;低精度当精度较低时,计算时间比 od
5、e15s 短(6) 要特别的是:ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序,其中:ode23 采用龙格-库塔2 阶算法,用3 阶公式作误差估计来调节步长,具有低等的精度ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法,用5 阶公式作误差估计来调节步长,具有中等的精度5ezplot(x,y,tmin,tmax):符号函数的作图命令x,y 为关于参数t 的符号函数,tmin,tmax 为 t 的取值范围6inline():建立一个内联函数格式:inline(expr, var1, var2,) ,注意括号里的表达式要加引号例:
6、Q = dblquad(inline(y*sin(x), pi, 2*pi, 0, pi)三、实验内容1. 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子:例1:求解微分方程,并加以验证求解本问题的Matlab 程序为:syms x y %line1y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) %line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2) %line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2) %line4说明:(1) 行line1是用命令定义x,y为符号变量这里可以不写,但为确保正确性,建议写上;(2) 行line2是用
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