专题21梯形讲解.doc
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1、专题21-梯形讲解精课 题梯 形教学内容一、【中考要求】梯形的概念和性质,了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系,探索并了解等腰梯形的有关性质,探索并了解四边形是等腰梯形的条件。二、【三年中考】1如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,ABADCD.若ABC60,BC12,则梯形ABCD的周长为_解析:过点D作DEAB交BC于点E,易证DEC是等边三角形,DCECBEADAB,梯形ABCD的周长为30.答案:302如图,在梯形ABCD中,ADBC,B70,C40,作DEAB交BC于点E,若AD3,BC10,则CD的长是_解析:DEAB,DECB70.又C40,DECEDC70,CDC
2、EBCAD1037.答案:73如图,沿虚线EF将ABCD剪开,则得到的四边形ABEF是()A梯形 B平行四边形 C矩形 D菱形解析:动手操作法可知选A.答案:A4如图,已知在梯形ABCD中,DCAB,ADBC,BD平分ABC,A60.(1)求ABD的度数;(2)若AD2,求对角线BD的长解:(1)DCAB,ADBC,梯形ABCD是等腰梯形,ABCA60.又BD平分ABC,ABDCBDABC30.(2)A60,ABD30,ADB90.AB2AD4.对角线BD2.三、【考点知识梳理】(一)梯形的定义、分类及面积1定义:一组对边平行,而另一组对边不平行的四边形叫做梯形其中,平行的两边叫做底,两底间的
3、距离叫做梯形的高2分类:梯形3面积:S梯形(上底下底)高中位线高(二)等腰梯形的性质与判定1性质:(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行;(2)等腰梯形在同一底边上的两个角相等;(3)等腰梯形的对角线相等;(4)等腰梯形是轴对称图形2判定:(1)定义法;(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;(3)对角线相等的梯形是等腰梯形(三)梯形的中位线1定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线2判定:(1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰;(2)定义法3性质:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半(四)解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法1基本思路:梯形问题三角形或平行四边形问题2常
4、见辅助线的作法:温馨提示:梯形辅助线的做法较多,但要把握一个原则:题中涉及什么量一般就做什么量(边、角、对角线、面积(转化为高)的辅助线。四、【中考典例精析】类型一 梯形的有关知识(1)如图,已知梯形ABCD中,ADBC,B30,C60,AD4,AB3,则下底BC的长为_(2)如图,在梯形ABCD中,DCAB,AB90.若AB10,AD4,DC5,则梯形ABCD的面积为_(3)设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,如图(单位:米)设路基高为h,两侧的坡角分别为和,已知h2,45,tan,CD10.求路基底部AB的宽;修筑这样的路基1 000米,需要多少土石方?【点拨】研究梯形问题常用的
5、数学思想方法有:转化思想,数形结合思想,通过做辅助线把梯形问题转化为特殊三角形、特殊平行四边形等简单图形【解答】(1)如图,分别过A、D作BC的垂线AE、DF,垂足分别为E、F,在RtABE中,AEABsin30,BEBAcos304.5.在RtCDF中,CF1.5,所以BC1.544.510.(2)如图,过点C作AD的平行线CE交AB于点E.ABCD,四边形AECD是平行四边形,CEAD4,DCAE5.ADEC,CEBA.AB90,CEBB90.ECB90,即ECB是直角三角形AE5,AB10.EBABAE5.由勾股定理,得BC3.过C作CFAB于F,由SCEBCEBCBECF,得435CF
6、,CF2.4.所以梯形ABCD的面积为18.(3)作DEAB于E,CFAB于F,则DECF2,在RtADE中,45,AEDE2.在RtBCF中,tan,BF2CF4.在梯形ABCD中,又EFCD10,ABAEEFFB16(米)在梯形ABCD中,AB16,CD10,DE2,面积为(CDAB)DE(1016)226(平方米),修筑1 000米路基,需要土石方:261 00026 000(立方米)类型二 等腰梯形、直角梯形(1)如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,ABADCD.若ABC60,BC12,则梯形ABCD的周长为_ (2)如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD2,将腰CD以D
7、为中心逆时针旋转90至DE,连结AE、CE,ADE的面积为3,则BC的长为_(3)如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC.求证:AC180.【点拨】(1)通过作等腰梯形的两条高把梯形转化为直角三角形和矩形求周长(2)注意直角梯形的特殊性质有两个内角是直角(3)考查等腰梯形的性质【解答】(1)如图,过A、D分别作AEBC,DFBC,则四边形AEFD为矩形,所以EFAD.因为ABCD,ADBC,B60,所以BC60.设BECFx,则ABADCDEF2x,所以x2xx12,x3,则梯形ABCD的周长为10x30.(2)过点E作EFAD的延长线于点F,过点C作CHAD的延长线于点H.易证四边形ABCH为
8、矩形,EDFDCH,ADEF3,AD2,EF3,DH3,BCADDH235.(3)证明:梯形ABCD是等腰梯形,BC.又ADBC,AB180AC180.五、【易错题探究】下列说法中正确的是()A一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形B有一组对角互补的梯形是等腰梯形C有一组邻边相等的梯形是等腰梯形D有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形【解析】等腰梯形的判定方法有定义法、对角线相等的梯形是等腰梯形、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形经判断B选项是正确的【易错警示】本题常错选A,认为平行的两边为底,相等的对边一定是腰,主要是对梯形的概念认识不清,如一个平行四边形符合一组对边平行,另一组对边
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