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中值定理的证明技巧

第五讲 中值定理的证明技巧

一、 考试要求
1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。

二、 内容提要

1、 介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.
（2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=0
2、 罗尔定理
若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则一定存在使得
3、 拉格朗日中值定理
若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
则一定存在，使得
4、 柯西中值定理
若函数满足:
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则至少有一点使得

5、 泰勒公式
如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即

其中 (介于与之间).

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；
2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、 积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得
f(x)dx=f(c)(b-a)

三、 典型题型与例题
题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f(x)=0有根）
方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.
思路：1）直接法
2）间接法或辅助函数法

例1、设在[a,b]上连续，，证明存在 ，使得

例2、设在[a,b]上连续、单调递增，且，证明存在 使得

*例3、设在[a,b]上连续且，证明存在使得 。

.

例4、设在[a,b]上连续，证明存在使得

例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：在(0,1)内有且仅有一个实根。

例6、设实数满足关系式，证明方程
，在内至少有一实根。

例7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得

题型二、 验证满足某中值定理
例8、验证函数，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的

题型三、 证明存在, 使(n=1,2,…)
方法：1、用费马定理
2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）
3、用泰勒公式
思路：可考虑函数
例9、设在[a,b]上可导且，证明至少存在一个
使得

例10、设在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得

*例11、设在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得

题型四、 证明存在, 使
方法：1）用罗尔定理（原函数法，常微分方程法），
2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）
思路：1）换为
2）恒等变形，便于积分
3）积分或解微分方程
4）分离常数：
即为辅助函数
(1) 用罗尔定理
1) 原函数法:
步骤：将x换为x;
恒等变形，便于积分；
求原函数，取c=0； 移项，得F(x).
例12、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，求证存在使得

例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

证明：在(0,1)内至少存在一点x, 使

例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上连续，试证对.

*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且.
试证：使得 .

.

2) 常微分方程法:
适用:
步骤：
解方程
令
例16、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，证明存在使得

*例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1,
证明：对任意实数 , 使得

(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

题型5、 含有(或更高阶导数)的介值问题
方法：1）原函数法（对仍用微分中值定理:罗尔定理，拉格朗日，柯
西中值定理）；
2）泰勒公式
例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个, 使

例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f(0)=0
(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在上至少存在一个使得

例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f¢(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点x，使得

.

例25、（103）设函数f (x)在闭区间[0, 3]上连续, 在开区间(0, 3)内二阶可导, 且
2 f (0)== f (2)+ f (3).
(I) 证明存在 h Î(0, 2), 使得f(h)= f (0) ;
(II) 证明存在 x Î(0, 3), 使得 f¢²(x)=0 .

.

题型6、 双介值问题
方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理
2）用一次后再用一次中值定理
例26、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，，求证存在使得

例27、（051，12分）已知函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
证明：（1）存在，使得
（2）存在两个不同的点使得

题型7、 综合题
*例29、（011，7分）
设函数在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证
（1） 对于(-1,1)内的任意,存在唯一的使得
成立
（2）

例29、试证明若在[a,b]上存在二阶导数，且，则存在使得

*例30、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得