高中数学必修2直线与平面的位置关系知识点总结与练习.pdf
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1、第三节空间点、直线、平面间的位置关系知识能否忆起一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内Al,Bl,且A,Bl公理 2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线P,且Pl,且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类Error!Error!2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 aa,b
2、b,把a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(2)范围:.(0,2三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线 l 在平面 内l无数个直线 l 与平面 相交lA一个直线 l 与平面 平行l0 个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0 个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线 l 上)1.三个公理的作用(1)公理 1 的作用:检验平面;判断直线在平面内;由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理 2 的作用:确定平面的依据,它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理 3 的作用:判定两平面相交;作两相交平面的交线;证
3、明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法:反证法;利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线,如图(2)所成的角的求法:平移法平面的基本性质及应用典题导入例 1(2012湘潭模拟)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点,求证:CE,D1F,DA 三线共点自主解答EF 綊 CD1,12直线 D1F 和 CE 必相交设 D1FCEP,PD1F 且 D1F平面 AA1D1D,P平面 AA1D1D.又 PEC 且 CE平面 ABCD,P平面 ABCD,即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点而平面 A
4、BCD平面 AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA 三线共点本例条件不变试证明 E,C,D1,F 四点共面证明:E,F 分别是 AB 和 AA1的中点,EF 綊 A1B.又 A1D1綊 B1C1綊 BC.12四边形 A1D1CB 为平行四边形A1BCD1,从而 EFCD1.EF 与 CD1确定一个平面E,C1,F,D 四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余线(或点)均在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证平面重合以题
5、试法1(1)(2012江西模拟)在空间中,下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱 AB 与 CD 所在直线异面;由顶点 A 作四面体的高,其垂足是BCD 三条高线的交点;若分别作ABC 和ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在的直线异面;分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点解析:(1)由“两平行直线确定一个平面”知 C 正确(2)由四面体的概念可知,AB 与 CD 所在的直线为
6、异面直线,故正确;由顶点 A 作四面体的高,只有当四面体 ABCD 的对棱互相垂直时,其垂足是BCD 的三条高线的交点,故错误;当 DADB,CACB 时,这两条高线共面,故错误;设 AB,BC,CD,DA 的中点依次为 E,F,M,N,易证四边形EFMN 为平行四边形,所以 EM 与 FN 相交于一点,易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点,故正确答案:(1)C(2)异面直线的判定典题导入例 2(2012金华模拟)在图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答图中,直线 GHMN;图中,G,H,N 三
7、点共面,但 M面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面;图中,连接 MG,GMHN,因此 GH 与 MN 共面;图中,G,M,N 共面,但 H面 GMN,因此 GH 与 MN 异面所以图中 GH 与 MN 异面答案由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知 m,n,l 为不同的直线,为不同的平面,有下面四个命题:m,n 为异面直线,过空间任
8、一点 P,一定能作一条直线 l 与 m,n 都相交m,n 为异面直线,过空间任一点 P,一定存在一个与直线 m,n 都平行的平面,l,m,n,m,n 与 l 都斜交,则 m 与 n 一定不垂直;m,n 是 内两相交直线,则 与 相交的充要条件是 m,n 至少有一条与 相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4解析:选 B错误,因为过直线 m 存在一个与直线 n 平行的平面,当点 P 在这个平面内且不在直线 m 上时,就不满足结论;错误,因为过直线 m 存在一个与直线 n 平行的平面,当点 P 在这个平面内时,就不满足结论;正确,否则,若 mn,在直线 m 上取一点作直线 al,由,得
9、an.从而有 n,则 nl;正确异面直线所成角典题导入例 3(2012大纲全国卷)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为 BB1,CC1的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_自主解答连接 DF,则 AEDF,D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角设正方体棱长为 a,则 D1Da,DFa,D1Fa,5252cosD1FD.(52a)2(52a)2a2252a52a35答案35由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法,步骤如下:(1)一作:即找或作平行线,作出异面直线所成的角;(2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;(3)三求:解三角形,求出所作
10、的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角以题试法3(2012唐山模拟)四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为,底面 ABCD 是边长为 2 的5正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为()A.B.2 5555C.D.4535解析:选 B如图所示,因为四边形 ABCD 为正方形,故CDAB,则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角PAB,在PAB 内,PBPA,AB2,利用余弦定理可知:5cos PAB.PA2AB2PB22 PA AB5452 2 555小题能否全取1(教材习题改编)已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行
11、于直线 a,那么 c 与 b()A异面B相交C不可能平行 D不可能相交解析:选 C由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若 bc,则 ab.与 a,b 是异面直线相矛盾2(2012东北三校联考)下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面;梯形可以确定一个平面;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析:选 C错误,正确3已知空间中有三条线段 AB,BC 和 CD,且ABCBCD,那么直线 AB 与 CD的位置关系是()AABCDBAB 与 CD 异面CAB 与 CD 相交DABCD 或 AB
12、 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交解析:选 D若三条线段共面,如果 AB,BC,CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD相交,否则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线4(教材习题改编)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为_解析:连接 B1D1,D1C,则 B1D1EF,故D1B1C 为所求,又 B1D1B1CD1C,D1B1C60.答案:605(教材习题改编)平行六面体 ABCDA1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱的条数为_解析:如图,与
13、 AB 和 CC1都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与CC1平行的棱有 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合条件的棱共有 5 条答案:5第四节直线、平面平行的判定及性质知识能否忆起一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则直线与此平面平行Error!Error!a2性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行Error!Error!ab二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平
14、面平行,则这两个平面平行Error!Error!2两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行Error!Error!ab1.平行问题的转化关系:判定性质线 线判定 性质线 面判定 性质面 面2在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在性质定理的应用中,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”3辅助线(面)是求证平行问题的关键,注意平面几何中位线,平行四边形及相似中有关平行性质的应用线面平行、面面平行的基本问题
15、典题导入例 1(2011福建高考)如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,AB2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上若 EF平面 AB1C,则线段EF 的长度等于_自主解答因为直线 EF平面 AB1C,EF平面 ABCD,且平面AB1C平面 ABCDAC,所以 EFAC.又因为点 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点,由中位线定理可得 EF AC.又因为在正方体 ABCDA1B1C1D1中,AB2,所以 AC2.所122以 EF.2答案2本例条件变为“E 是 AD 中点,F,G,H,N 分别是 AA1,A1D1,DD1与 D1C1的中点,若 M 在四边形 EFGH 及
16、其内部运动”,则 M 满足什么条件时,有 MN平面 A1C1CA.解:如图,GN平面 AA1C1C,EG平面 AA1C1C,又 GN EGG,平面 EGN平面 AA1C1C.当 M 在线段 EG 上运动时,恒有 MN平面 AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意:(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确以题试法1(1)(2012浙江高三调研)已知直线 l平面,P,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线()A只有一条,不在平面 内B有无数条,
17、不一定在平面 内C只有一条,且在平面 内D有无数条,一定在平面 内解析:选 C由直线 l 与点 P 可确定一个平面,且平面,有公共点,因此它们有一条公共直线,设该公共直线为 m,因为 l,所以 lm,故过点 P 且平行于直线 l 的直线只有一条,且在平面 内(2)(2012潍坊模拟)已知 m,n,l1,l2表示直线,表示平面若m,n,l1,l2,l1l2M,则 的一个充分条件是()Am 且 l1Bm 且 nCm 且 nl2 Dml1且 nl2解析:选 D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行”可得,由选项 D 可推知.直线与平面平行的判定与性质典题导入例
18、2(2012辽宁高考)如图,直三棱柱ABCABC,BAC90,ABAC,AA1,点2M,N 分别为 AB 和 BC的中点(1)证明:MN平面 AACC;(2)求三棱锥 AMNC 的体积(锥体体积公式 V Sh,13其中 S 为底面面积,h 为高)自主解答(1)证明:法一:连接 AB、AC,因为点 M,N 分别是 AB 和 BC的中点,所以点 M 为 AB的中点又因为点 N 为 BC的中点,所以 MNAC.又 MN平面 AACC,AC平面 AACC,因此 MN平面 AACC.法二:取 AB的中点 P.连接 MP.而点 M,N 分别为 AB与 BC的中点,所以MPAA,PNAC.所以 MP平面 A
19、ACC,PN平面 AACC.又MPPNP,因此平面 MPN平面 AACC.而 MN平面 MPN,因此 MN平面 AACC.(2)法一:连接 BN,由题意得 ANBC,平面 ABC平面BBCCBC,所以 AN平面 NBC.又 AN BC1,12故 VAMNCVNAMC VNABC VANBC.121216法二:VAMNCVANBCVMNBC VANBC.1216由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线以题试法2(2012淄博模拟)如图,在棱长为 2
20、的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 BD,BB1的中点(1)求证:EF平面 A1B1CD;(2)求证:EFAD1.解:(1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,连接 B1D,在平面 BB1D 内,E,F 分别为 BD,BB1的中点,EFB1D.又B1D平面 A1B1CD.EF平面 A1B1CD,EF平面 A1B1CD.(2)ABCDA1B1C1D1是正方体,AD1A1D,AD1A1B1.又 A1DA1B1A1,AD1平面 A1B1D.AD1B1D.又由(1)知,EFB1D,EFAD1.平面与平面平行的判定与性质典题导入例 3如图,已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的
21、正方体,点E 在 AA1上,点 F 在 CC1上,G 在 BB1上,且AEFC1B1G1,H 是 B1C1的中点(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)求证:平面 A1GH平面 BED1F.自主解答(1)在正方形 AA1B1B 中,AEB1G1,BGA1E2,BG 綊 A1E.四边形 A1GBE 是平行四边形A1GBE.又 C1F 綊 B1G,四边形 C1FGB1是平行四边形FG 綊 C1B1綊 D1A1.四边形 A1GFD1是平行四边形A1G 綊 D1F.D1F 綊 EB.故 E,B,F,D1四点共面(2)H 是 B1C1的中点,B1H.32又 B1G1,.B1GB1H23又,且FCBG
22、B1H90,FCBC23B1HGCBF.B1GHCFBFBG.HGFB.GH面 FBED1,FB面 FBED1,GH面 BED1F.由(1)知 A1GBE,A1G面 FBED1,BE面 FBED1,A1G面 BED1F.且 HGA1GG,平面 A1GH平面 BED1F.由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理;(2)面面平行的传递性(,);(3)利用线面垂直的性质(l,l)以题试法3(2012北京东城二模)如图,矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相垂直,MBNC,MNMB.(1)求证:平面 AMB平面 DNC;(2)若 MCCB,求证:BCAC.证
23、明:(1)因为 MBNC,MB平面 DNC,NC平面 DNC,所以 MB平面 DNC.又因为四边形 AMND 为矩形,所以 MADN.又 MA平面 DNC,DN平面 DNC.所以 MA平面 DNC.又 MAMBM,且 MA,MB平面 AMB,所以平面 AMB平面 DNC.(2)因为四边形 AMND 是矩形,所以 AMMN.因为平面 AMND平面 MBCN,且平面 AMND平面 MBCNMN,所以 AM平面 MBCN.因为 BC平面 MBCN,所以 AMBC.因为 MCBC,MCAMM,所以 BC平面 AMC.因为 AC平面 AMC,所以 BCAC.小题能否全取1(教材习题改编)下列条件中,能作
24、为两平面平行的充分条件的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析:选 D由面面平行的定义可知,一平面内所有的直线都平行于另一个平面时,两平面才能平行,故 D 正确2已知直线 a,b,平面,则以下三个命题:若 ab,b,则 a;若 ab,a,则 b;若 a,b,则 ab.其中真命题的个数是()A0 B1C2 D3解析:选 A对于命题,若 ab,b,则应有 a 或 a,所以不正确;对于命题,若 ab,a,则应有 b 或 b,因此也不正确;对于命题,若 a,b,则应有 ab
25、 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,因此也不正确3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A,B,C 到平面 的距离相等,那么直线 l 与平面 的位置关系是()Al BlCl 与 相交且不垂直 Dl 或 l解析:选 D由于 l 上有三个相异点到平面 的距离相等,则 l 与 可以平行,l 时也成立4平面 平面,a,b,则直线 a,b 的位置关系是_解析:由 可知,a,b 的位置关系是平行或异面答案:平行或异面5(2012衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是 DD1的中点,则 BD1与平面ACE 的位置关系为_解析:如图连接 AC,BD 交于 O 点,连接 OE,因为 O
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