高考函数压轴题(1).doc

高考数学压轴题：函数
2. 已知三次函数在y轴上的截距是2，且在上单调递增，在（－1，2）上单调递减.
20070328
(Ⅰ)求函数f (x)的解析式；
(Ⅱ)若函数，求的单调区间.
3. 已知函数，函数的图象与的图象关于点中心对称。
（1）求函数的解析式；
（2）如果，，试求出使成立的取值范围；
（3）是否存在区间，使对于区间内的任意实数，只要，且时，都有恒成立？
4．已知函数：
（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.
（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；
（Ⅲ）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .

5. 设是定义在上的函数，若存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.　　对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
（1）证明：对任意的，，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；
（2）对给定的，证明：存在，满足，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于；

6. 设关于的方程的两根分别为、，函数
（1）证明在区间上是增函数；
（2）当为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小
7. 已知函数在处取得的极小值是.
(1)求的单调递增区间；
(2)若时，有恒成立，求实数的取值范围.
8. 已知二次函数设方程f(x)＝x有两个实数根x1、x2.
(Ⅰ)如果，设函数f(x)的对称轴为x＝x0,求证x0>—1;
(Ⅱ)如果，且f(x)＝x的两实根相差为2，求实数b 的取值范围.

9. 函数的定义域为R，并满足以下条件：①对任意，有；
②对任意、，有；③ 则
（1）求的值； （4分）
（2）求证：在R上是单调增函数； （5分）
（3）若，求证：

10. 已知函数在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；
（3）是否存在实数b，使函数的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
11. 定义在区间（0，）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q,都有.
（1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；
（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列，求证：；
（3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有，求证：
12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x2 – 10x3(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）
(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
13. 已知函数（且）．
(1) 试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
(2) 已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式；
(3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
(文) 记(2)中的函数的图像为曲线，试问曲线是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．

14. 已知函数和 的图象在处的切线互相平行.
(Ⅰ) 求的值；
（Ⅱ）设，当时，恒成立，求的取值范围.

15. 设函数定义在上，对任意的，恒有，且当时，。试解决以下问题：
（1）求的值，并判断的单调性；
（2）设集合，若，求实数的取值范围；
（3）若，满足，求证：

16. （理科）二次函数f(x)=
（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；
（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=；

（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得.
(文科)已知函数f(x)=，其中
（I）若b>2a,且 f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；
（II）若对任意实数x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。

17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x、y (-1,1)都有。
（I）求证：函数f(x)是奇函数；
（II）如果当 时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；
（III）设-1<a<1，解不等式：

18. 设是定义域在上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
（l）求证在上是减函数；
（ll）如果，的定义域的交集为空集，求实数的取值范围；
（lll）证明若，则，存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.

19. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z。
（1）若b>2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x02＋1）成立，求c的值。

20. （理）已知
（1）讨论的单调性；
（2）证明：其中无理数.
（文）设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为.
（1）求证：；
（2）若函数的递增区间为，求的取值范围.

21.设函数
（1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）当x∈[a+1, a+2]时，不等，求a的取值范围.

22. 已知函数，函数.
（1）当时，求函数f(x)的最小值；
（2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.

23. 已知二次函数为常数）；.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

（Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

24. 已知，点A(s,f(s)), B(t,f(t))
(I) 若,求函数的单调递增区间；
(II)若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；
(III)若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直.

答案：
1.解：(1)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入=8万元; …………………… (2分)
表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入 =12万元. …………………………… (4分)
12
8
x
O
M(17,25)

(2) 解方程组
………………(6分)
得: x = 17, y = 25 ……………(9分)
故甲公司至少投入17万元,
乙公司至少投入25万元. …… (11分)
(3) 经观察,
显见 .
故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保
证自己不失败的一个平衡点. ………(16分)

2.解：(Ⅰ)∵在y轴上的截距是2，∴f(0)=2,∴c=2. 1分
又在上单调递增，（－1，2）上单调递减，
有两个根为－1，2，
，…………5分
(Ⅱ)，
，………………6分
，……………………………………… 7分
当m≤－2时，－m≥2，定义域：，
恒成立，上单增； ……………………… 8分
当时，，定义域：
恒成立，上单增……………………… 9分
当m >－1时，－m <1，定义域：
由得x >1，由得x <1.
故在（1，2），（2，+∞）上单增；在上单减. ………………11分
综上所述，当m≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增；
当时, 上单增；
当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m，1）单减.…12分

3.解：（1） ………………………………………………………………（6分）
（2）由解得
即
解得…………………………………（12分）
（1） 由，
又，
当时，，，
∴对于时，，命题成立。………………（14分）
以下用数学归纳法证明对，且时，都有成立
假设时命题成立，即，
那么即时，命题也成立。
∴存在满足条件的区间。

4.解：（Ⅰ）证明：

∴结论成立 ……………………………………4分
（Ⅱ）证明：
当
即…………9分

（Ⅲ）解：
（1）当
如果 即时，则函数在上单调递增

如果
当时，最小值不存在…………………………11分
（2）当
如果
如果…13分
当
综合得：当时 g（x）最小值是
当时 g（x）最小值是 当时 g（x）最小值为
当时 g（x）最小值不存在

5.解：(1)证明:设为的峰点,则由单峰函数定义可知, 在上单调递增, 在上单调递减,
当时,假设,则<,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间.
当时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间………………………….(7分)
（2）证明：由(1)的结论可知:
当时, 含峰区间的长度为；
当时, 含峰区间的长度为；
对于上述两种情况，由题意得 ①
由①得即，
又因为，所以 ②
将②代入①得 ③
由①和③解得
所以这时含峰区间的长度，
即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于
6.解：(1)证明：，
由方程的两根分别为、知
时，，所以此时，
所以在区间上是增函数
(2)解：由（１）知在上，最小值为，最大值为，

　　，，可求得，
　　，
　所以当时，在区间上的最大值与最小值之差最小，最小值为４

7.解：(1)，由题意，
令得的单调递增区间为和.
(2) ，当变化时，与的变化情况如下表：

- 4
(-4，-2)
-2
(-2,2)
2
(2,3)
3

0

0

单调递增

单调递减

单调递增
1

所以时，.于是在上恒成立等价于，求得.
8.解：(Ⅰ)设
∴由条件……（2分）即（4分）
∴……（5分）对
……（8分）
（Ⅱ）由
……（11分）

由代入有
9.解：解法一：（1）令，得：……………1分
…………………………4分
（2）任取、，且. 设则
…………………… 8分
在R上是单调增函数…… 9分
（3）由（1）（2）知
………11分
而 ……15分
解法二：（1）∵对任意x、y∈R，有
………1分 ∴当时……2分
∵任意x∈R， …………3分 ……………………4分
（2）…………………………6分
是R上单调增函数 即是R上单调增函数；…… 9分
（3）……………………11分
而

10.解：（1）
∵∴，∴，
（2）设点A（x
∵
由交点对应于方程即
∴b=4或b=0为所求.
11.解：(1)取x=1,q=2,有
若存在另一个实根，使得
（2），
，则0，∴，又a+c=2b,
∴ac-b=
即ac<b
(3)
又
令m=b,n=,b且q
则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且

即4m=,由0<n<1得，

12.解：(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 (xÎN且xÎ[1, 20]); 2分
MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (xÎN且xÎ[1, 20]). 4分
(2) P`(x) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (xÎN且xÎ[1, 20]) 7分
当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,
当 12 <x < 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.
∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 10分
即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 11分
(3) 由MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xÎN且xÎ[1, 20]).
∴当1< x £ 20时，MP (x)单调递减. 12分
MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1

13.解：(1) ①当时，函数的单调递增区间为及，
②当时，函数的单调递增区间为及，
③当时，函数的单调递增区间为及．
（6分）
(2) 由题设及(1)中③知且，解得， （9分）
因此函数解析式为． （10分）
(3) （理）假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴，显然、轴不是曲线的对称轴，故可设：（），
设为曲线上的任意一点，与关于直线对称，且
，，则也在曲线上，由此得，，
且，， （14分）
整理得，解得或，
所以存在直线及为曲线的对称轴． （16分）
（文）该函数的定义域，曲线的对称中心为，
因为对任意，，
所以该函数为奇函数，曲线为中心对称图形．
14.解：(Ⅰ) ………………………3分
∵函数和的图象在处的切线互相平行
　　　　 …………………………………………………5分

　　　　………………………………………………………………6分
（Ⅱ）

　　　…………………………………………7分
令　　　　

∴当时，,当时，.
∴在是单调减函数，在是单调增函数. 　…………………………9分
，
∴当时，有，当时，有.
∵当时，恒成立, ∴　 …………………………11分
∴满足条件的的值满足下列不等式组
①，或②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得
综上所述，满足条件的的取值范围是：.　

15.解：（1）在中令，得； …………………2分
设，则，从而有
所以，
所以，在上单调递减 …………………5分

（2），由（1）知，在上单调递减，
， …………………7分
故集合中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分；
而，所以，， …………8分
故集合中的点所表示的区域为一直线，如图所示，
由图可知，要，只要，
∴实数的取值范围是 …………………10分
（3）由（1）知在上单调递减，∴当时，，当时，，
，而，，故，
由得，，所以，， …………………12分
又，所以，
又
由得，，，
又，所以，由
及解得，

16.解：（理）（I）（3分）
（II）设两整根为x1,x2，x1>x2

(5分)
（III）设m<x1<x2<m+1,m为整数。

即
f(m)=

f(m+1)=
(6分)
（文）f(sinx)=

f(sinx)max=f(1)=2,

又b>2a>0,
(7分)
(2)

不存在
当a=1时，c=1,
此时存在x0,使

17.解：(I)证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0),
　 故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)=
　　 ∴f(-x)=-f(x)
　　 ∴函数f(x)的奇函数　　　 4’
（II）设-1<x1<x2<1，则

　　 因此　　　　　 　
　　 ∴函数f(x)在（-1，1）上是减函数　　　 8’
（III） 是（-1，1）上的减函数，

　　 由 得x<0或x>2　　　　 9’
　　 当a=0时， ，原不等式的解集为{x|x>2}　　　 10’
　　 当-1<a<0时。x>2中原不等式的解；
　　 若x<0，则a(x-1)>1,x<1+
　　 故原不等式的解集为 　　　12’
　　 当0<a<1时，x<0不是原不等式的解；
　　 若x>2，则a(x-1)<1,x<1+ ∴
　　 故原不等式的解集为{x| } 　

18.解：（1）∵奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负
∴对于任意且有
……………………………………………………3分
从而与异号
∴在上是减函数…………………………………………5分
（2） 的定义域为
的定义域为………………………………7分
∵ 上述两个定义域的交集为空集
则有： 或…………………………9分
解得：或
故c的取值范围为或………………………………………………10分
（3）∵ 恒成立
由(2)知：当时

当或时
且
　　　此时的交集为………………………………………12分
　　　　　当
且
此时的交集为
　　　故时，存在公共定义域，且
　　　　当或时，公共定义域为；
　　　　当时，公共定义域为.

19.解：（1）由函数f（x）的图像开口向上，对称轴x＝－b/2a<－1知，f（x）在[－1，1]上为增函数，故f（1）＝a＋b＋c＝2，f（－1）＝a－b＋c＝－4，∴b＝3，a＋c＝－1。又b>2a，故a＝1，c＝－2。∴f（x）＝x2＋3x－2，最小值为－17/4。
（2）令x＝1，代入不等式4x≤f（x）≤2（x2＋1）得f（1）＝4，即a＋b＋c＝4，从而b＝4－a－c。又4x≤f（x）恒成立，得ax2＋（b－4）x＋c≥0恒成立，故△＝（b－4）2－4ac≤0，∴a＝c。又b≥0，a＋c≤4，∴c＝1或c＝2。当c＝2时，f（x）＝2x2＋2，此时不存在满足题意的x0。当c＝1时满足条件，故c＝1。
20.解：（理）（1）
①若时，
∴在单调递增，在单调递减，……………………………………
②若时，对恒成立.
∴在上单调递减. …………………………………………………………
③若，
由，
由可得或，
∴在［］单调递减，在（］，［，］上单调递减，综上所述：若时，在（）上单调递减.
当时，在［］单调递减，
在（和）单调递减，
当时， 在单调递增，在单调递减.
21.解：（1）∵f′(x)=－x2+4ax－3a2=－(x－3a)(x－a),由f′(x)>0得：a<x<3a
由f′(x)<0得，x<a或x>3a，
则函数f(x)的单调递增区间为（a, 3a），单调递减区间为（－∞，a）和（3a，+∞）
列表如下：
x
(－∞，a)
a
(a, 3a)
3a
(3a,+ ∞)
f′(x)
—
0
+
0
—
f(x)

－a3+b

b

∴函数f(x)的极大值为b，极小值为－a3+b …………………………7分
（2）上单调递
减，因此
∵不等式|f′(x)|≤a恒成立，
∴ 即a的取值范围是
22.解：(1) 方法一： ∵ x>1 , ，
当且仅当x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0；
方法二：∵ x>1，
当且仅当即x=4时，取等号，故函数f(x)的最小值为0.
方法三：求导（略） ……………………………………4分
（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=
设 F(x)=g(x)－h(x)= (且)，则
，……………………………6分
令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F（3）＝6ln3－15+m
根据导数的符号及函数的单调情况、取极值的情况作出的草图如
下：………………11分
由此可得：
当或时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有1个交点；
当时，h(x)的图象与g(x)的图象恰有2个交点；
当时，h(x)的图象与g(x(的图象恰有3个交点.
23.解：（I）由图形 知：，
∴函数f（x）的解析式为…………………………4分
（Ⅱ）由
得
∵0≤t≤2
∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（…………………………6分
由定积分的几何意义知：

………………………………9分
（Ⅲ）令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数
当x∈（3，+∞）时，是增函数
当x=1或x=3时，
∴
………………………………12分
又因为当x→0时，
当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即
∴m=7或
∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．
24.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1,
因为f(x)单调递增，
所以(x)≥0，
即 3x2-4x+1≥0,
解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分
故f(x)的增区间是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分
(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab.
当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤.………………………4分
故有≤(1)≤，
≤(-1)≤，
≤(0)≤,………………………5
即 ………6
①+②，得
≤ab≤，……………………………8分
又由③，得
ab=，
将上式代回①和②，得
a+b=0,
故f(x)=x3x. ……………………9分
(III) 假设⊥,
即= = st+f(s)f(t)=0, ……………10分
(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, ……………………………………11分
由s，t为(x)=0的两根可得，
s+t=(a+b), st=, (0<a<b),
从而有ab(a-b)2=9. ……………………………………12分
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab
= +4ab≥2=12，
即 a+b≥2,
这样与a+b<2矛盾. ……………………13分
故与不可能垂直.
25.解：(1)g(x)=. 　　
即m≥时，g′(x)≤0,g(x)在[,2]上单调递减，
∴g(x)max=g()=2m--ln2.
所以m≥时，g(x)max=2m-；
(2)因为函数y=log[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则其导数在[1，+∞）上恒小于等于零.
所以
恒成立.
因为loge<0，所以在[1，+∞）恒成立.即在[1，+∞）恒成立.
因为在[1，+∞）上不恒成立,所以在[1，+∞）上恒成立.
得在[1，+∞）上恒成立. 所以-1≤m<9.
（本题也可用复合函数进行处理）
高考数学压轴题突破训练：数列
1. 已知数列为等差数列，每相邻两项，分别为方程，（是正整数）的两根. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1) 求的通项公式;
(2) 求之和;
(3) 对于以上的数列｛an｝和｛cn｝,整数981是否为数列｛｝中的项？若是,则求出相应的项数；若不是,则说明理由.

2. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．
（Ⅰ） 求数列的通项公式；
（Ⅱ） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.

3. 已知函数，数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列（q≠1，），若，，
（1）求数列{}和{}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为，对都有…　　求
4. 各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn,函数
（其中p、q均为常数，且p>q>0），当时，函数f(x)取得极小值，点均在函数的图象上，（其中f′(x)是函数f(x)的导函数）
（1）求a1的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）记的前n项和Tn.
5. 已知函数且任意的、都有
（1）若数列
（2）求的值.

7. 已知函数，当时，
（1） 证明：
（2） 若，求实数的值。
（3） 若，记的图象为C，当时，过曲线上点作曲线的切线交轴于点，过点作切线交轴于点，……依次类推，得到数列，求

8. 设函数 ．
（1）若在定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）证明：①；
②

9. 某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n（以月为单位）的关系为Tn=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
10. 已知奇函数
（Ⅰ）试确定实数a的值，并证明f（x）为R上的增函数；
（Ⅱ）记求；
（Ⅲ）若方程在（－∞，0）上有解，试证．
11. 已知，数列满足，。（）
（1） 判断并证明函数的单调性；
（2） 数列满足，为的前项和。证明： < 。

12. 已知数列的前项和为，若，
（1）证明数列为等差数列，并求其通项公式;
（2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围。

13. 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求
（Ⅰ）；
（Ⅱ）与的关系式；
（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。

14. 设是两个数列，点为直角坐标平面上的点.
（Ⅰ）对若三点共线，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}满足：，其中是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列(1，在同一条直线上，并求出此直线的方程.
15. 已知数列中，，且是函数的一个极值点。
（1）求数列的通项公式；
（2）若点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行（点O为坐标原点）；求证：当时，不等式对成立。

16. 函数的反函数为，数列满足：，数列满足：，
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.

17. 已知曲线y=，过曲线上一点（异于原点）作切线。
（I）求证：直线与曲线y=交于另一点；
（II）在（I）的结论中，求出的递推关系。若，求数列的通项公式；
（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，使得不等式m<Rn<M对一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否则请说明理由。

18. 设数列满足
（I）用数学归纳法证明：；
（II）求。

19. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：

1998年
1999年
2000年
新植亩数
1000
1400
1800
沙地亩数
25200
24000
22400
而一旦植完，则不会被沙化：
问：（l）每年沙化的亩数为多少？
（ll）到那一年可绿化完全部荒沙地？

20. 已知，，数列满足，， ．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；
（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

21. 以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列，的前n项和分别为，，若，，求的值.
22. 已知函数，若数列：成等差数列.
(1)求数列的通项；
(2)若，令，求数列前项和；
(3)在(2)的条件下对任意，都有，求实数的取值范围.

23. 设.其中，且(为自然对数的底数).
(1)求与的关系；
(2)若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
(3)求证：(i) ；
(ii)

24. 已知函数．
（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an ³ 2n + 2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

答案
1.解：
(1) 设等差数列的公差为d，由题意得

由 得

由
另解:由 得 (其余略)
(2)

(10分)

(3)
∵n是正整数, 是随n的增大而增大,
又 ＜981, ＞981
∴ 整数981不是数列｛｝中的项.
2.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
3.解：（1）数列{}为等比数列，　∴　 为等比数列，
　　又∵　，
　　∴　，解得d＝2，
　　∴　 又∵　为等比数列，∴　
　　而　，∴　
　　∵　，，∴　， ∴　
　　（2）由…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　　 …　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　①-②得 ∴　
　　对于，，，知其为等比数列
　　∴　，，
　　∴　
4.解：（I）解：
令
当x=变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

（0，）

（，1）
1
（1，+∞）
f′(x)
+
0
－
0
+
f(x)

极大值

极小值

所以f(x)在x=1处取得最小值，即a1=1.
（II），
由于a1=1，所以
……………………①.
又…………………………②。
①－②得

，所以{an}是以a1=1，公差为的等差数列，
.
（Ⅲ）

5.解：（1）

而

（2）由题设，有
又
得上为奇函数. 由

得
于是
故

7.解：（1）证明：由

即
8.解：（1）　　　
∵在单调，
∴≤０或≥０在恒成立，
即或在恒成立，
∴≤０或≥1．
（2）① 设=，则，　
当时，=0
当时，＞0 ∴递增， 当时，＜0 ∴递减，
∴
∴=≤0 即（＞0）
② 由①，
又＞
∴左边=
≤

右边
∴原不等式成立
9.解：入世改革后经过n个月的纯收入为万元
不改革时的纯收入为
又 （7分）
由题意建立不等式
即

答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
10.解：（I）得

设

在R上单调递增
（II）

（III）
又f（x）为奇函数，且在R上为单调增函数