专题03-含绝对值的不等式及其应用-一本通之备战2019高考数学选做题.doc

专题03-含绝对值的不等式及其应用-一本通之备战2019高考数学选做题

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专题03 含绝对值的不等式及其应用
知识通关
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|−a<x<a}

|x|>a
{x|x>a或x<−a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
|ax+b|≤c⇔−c≤ax+b≤c;
|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤−c.
(3)|x−a|+|x−b|≥c和|x−a|+|x−b|≤c型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)定理2：如果a,b,c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立.
(3)推论1：||a|−|b||≤|a+b|.
(4)推论2：||a|−|b||≤|a−b|.
基础通关
理解绝对值的几何意义，并会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

方法
解读
适合题型
1
公式法
利用公式和或直接求解不等式
或
2
平方法
利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负

3
零点分段法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解

4
几何法
利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解

5
图象法
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数
如可构造
或与
题组一 绝对值不等式的解法
用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．
【例1】已知函数.
（1）画出的图象；
（2）求不等式的解集．

【解析】（1）的图象如图所示.

题组二 绝对值不等式性质的应用
（1）利用绝对值不等式性质定理时要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.
（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题时利用绝对值三角不等式更方便．
（3）对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．
【例2】已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）依题意，，两边同时平方得，即，解得或，故不等式的解集为．
（2）由恒成立，即恒成立，
∵，
∴，
∴，解得，即实数的取值范围为.
能力通关
1．含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律：
（1）根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.
（2）巧用“||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.
①求|a|−|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|−|b||≤|a±b|⇔−|M|≤|a|−|b|≤|M|确定范围.
②求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.
（3）f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a,f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.即不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
（1）分离参数法
运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.
（2）更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.
（3）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.
不等式恒成立问题
【例1】设函数.
（1）解不等式；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为,
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得.
所以不等式的解集为.
（2）依题意只需，
而，
所以，
所以或,
故实数的取值范围是.
【例2】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）若，则原不等式可化为，则，无解；
若，则原不等式可化为，则，无解；
若，则原不等式可化为，则.
综上所述，不等式的解集为.
（2）令，依题意可知.
而，
由，所以.
所以，即，
故的取值范围是.
不等式存在性问题
【例3】已知函数．
（1）当时,解不等式;
（2）若存在满足,求实数的取值范围．

（2）
原命题等价于
.
不等式中的最值问题
【例4】设函数，.
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），当且仅当，
即时取等号，此时.
（2）对任意的，不等式恒成立
，或，或
，或，或.
所以实数的取值范围为.
【例5】已知函数.
（1）解不等式；
（2）若正数满足，求的最小值.
【解析】（1）①当时，，
由，即，解得，显然所以；
②当时，，
由，即，解得.又，所以此时不等式无解；
③当时，.
由，即，解得.显然，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）由题意得.
所以
.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
不等式综合性问题
【例6】已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围．

（2）因为，
所以方程有三个不同的解等价于函数的图象与直线有三个不同的交点，作图可知，

当直线经过点时，；
当直线经过点时，.
所以实数的取值范围是.
高考通关
1．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
（1）当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
（2）若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
【解析】（1）当a＝－3时，不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)
当x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.
当2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.
当x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.
综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.
（2）原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)
当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，解得－2－a≤x≤2－a.
由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，
∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，
故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].
2．已知函数.
（1）解关于的不等式.
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（2）由（1）知，.作出函数的图象，如图，

显然.
故由不等式恒成立可得，解得.
所以的取值范围为.
3．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）依题意，，
若，则原式化为，解得，故；
若，则原式化为，解得，故；
若，则原式化为，解得，故.
综上所述，不等式的解集为.
（2）依题意，关于x的不等式在R上恒成立．
而|2x+ m|+|4−2x|≥|m＋4|，
所以，即或，解得，
所以m的取值范围是．
4．已知函数，，其中.
（1）若函数的图象关于直线对称，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1，求的最小值及其相应的和的值.
【解析】（1）函数的图象关于直线对称，
，
，
不等式可化为，即，化简得，解得，
不等式的解集为.
（2），，
，
由绝对值不等式的性质可得，
函数的最小值为，
，
由得，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为4，此时.
5．已知函数．
（1）若使不等式成立，求满足条件的实数的取值集合；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得，则，
由于使不等式成立，则有，即.

【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，存在性问题等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，逻辑思维能力，化归与转化思想．

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