2015届高三数学上册期中调研检测试题3.doc

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2014-2015学年度第一学期
高三级理科数期中考试试卷
【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】第一部分选择题(共40分)
【题文】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【题文】1．若集合，且，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】交集的运算.A1
【答案】【解析】A 解析：因为，所以B是A的子集，所以集合可能是{1,2}，故选A。
【思路点拨】先由已知条件得到B,再结合交集的定义即可。
【题文】2．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．命题“∀x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“∃x0＜0，x＋x0－1＜0”
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题
D．若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
【知识点】命题真假的判断.A2
【答案】【解析】D 解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若，则x≠1”，故A错误；
命题“”的否定是“∃x0 0，x＋x0－1 0”，故B错误；
命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故C错误；
若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故D正确；
故选D。
【思路点拨】利用命题间的关系依次判断即可。
【题文】3．已知数列{}为等差数列，公差，为其前n项和.若，则=（ ）
A． B． C． D．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质.D2
【答案】【解析】B 解析：因为，所以，即，代入可解得=20，故选B。
【思路点拨】先利用，解出，再利用等差数列的通项公式可求出。
【题文】4．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）

【知识点】空间几何体的三视图.G2
【答案】【解析】B 解析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，
B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．故选B．
【思路点拨】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．
【题文】5．在中，已知,则的面积是（ ）
A． B． C．或 D．
【知识点】正弦定理；三角形面积公式.C8
【答案】【解析】C 解析：根据正弦定理：,即，解得或，则或，所以=或，故选C。
【思路点拨】先利用正弦定理求出C,再得到A，然后利用三角形面积公式求出面积即可。
【题文】6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点】导数的几何意义；两直线垂直的充要条件.B11 H2
【答案】【解析】D 解析：因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，又因为切线与直线垂直，所以，解得，故选D。
【思路点拨】先对原函数求导，求出斜率，再结合两直线垂直的充要条件可求得a的值。
【题文】7．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【知识点】平面向量的线性运算.F1
【答案】【解析】B 解析：根据题意画出图形如下：

,即，解得，则，故选B。
【思路点拨】先利用平行四边形法则求出向量，再利用可得结果。
【题文】8．已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（　　）
A． B． C． D．
【知识点】根的存在性及根的个数判断；等差数列的通项公式．B9 D2
【答案】【解析】B 解析：当x∈（-∞，0]时，由g（x）=f（x）-x=2x-1-x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（-∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．
当x∈（0，1]时，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=2x-1-1+1=2x-1，由g（x）=f（x）-x=2x-1-x=0，得2x-1=x．令y=2x-1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．
当x∈（1，2]时，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2x-1-1+1=2x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2x-2+1-x=0，得2x-2=x-1．令y=2x-2，y=x-1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，

由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．
依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为an=n-1．
故选B．
【思路点拨】根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．
【题文】第二部分非选择题(共 110分)
【题文】二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（一）必做题（9 ～ 13题）
【题文】9．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为
【知识点】复数相等的条件.L4
【答案】【解析】2 解析：=，所以，则，故答案为2.
【思路点拨】先利用复数相等的条件求出，再得到即可。
【题文】10．若，则常数T的值为________．
【知识点】定积分.B13
【答案】【解析】3 解析：因为，解得，故答案为3.
【思路点拨】 先由题意得到,再解出T的值即可。
【题文】11．设满足约束条件,则的最大值是 ．
【知识点】简单线性规划．E5
【答案】【解析】5 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示

做直线L：2x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知当直线过点A时，z最大，由可得A（2，1），即当x=2，y=1时，zmax=5．
故答案为：5
【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．
【题文】12．已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3， 则 ．
【知识点】二项式系数的性质．I3
【答案】【解析】10 解析：根据题意，的展开式为，
又有其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得，
即，解可得，故答案为10.
【思路点拨】根据题意，首先写出的展开式，进而根据其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得，化简并解可得n的值。
【题文】13．如图，在平面直角坐标系中，点A为椭圆E ：的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于 ．

【知识点】椭圆的简单性质．H5
【答案】【解析】 解析：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a，四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a
可设代入椭圆方程解得：
设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形，所以∠COD=30°
对C点：，解得：a=3b，根据：得：，
，故答案为：．
【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设，从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用，求得a=3b，最后根据得出离心率．
【题文】（二）选做题（14 ～ 15题，考生只能从中选做一题）
【题文】14．在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________

【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．N3
【答案】【解析】 解析：由得，，代入得，解得或（舍），
所以曲线与的公共点到极点的距离为，
故答案为：．
【思路点拨】联立与消掉即可求得，即为答案．
【题文】15．如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,,若与圆相切, 则线段的长为 ．

【知识点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．N1
【答案】【解析】 解析：∵，∴可设AF=4k，BF=2k，BE=k＞0．由相交弦定理可得：，∴，解得．
∴．∴,根据切割线定理可得：，解得．故答案为。
【思路点拨】利用相交弦定理和切割线定理即可得出．
【题文】三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【题文】16．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）用五点作图法列表，作出函数在上的图象简图．
（Ⅱ）若，，求的值．
【知识点】二倍角公式；函数的图像及性质.C4 C5 C6 C7
【答案】【解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）=
===

（Ⅱ）

【思路点拨】（Ⅰ）先利用三角公式对原函数化简，然后列表再化出图像；（Ⅱ）先由原函数求出，再利用二倍角公式结合两角差的正弦公式即可。
【题文】17．（本小题满分14分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知，，在底面的射影是线段的中点．
（Ⅰ）证明：在侧棱上存在一点，使得⊥平面，并求出的长；
（II）求二面角的余弦值．

【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
解析：(Ⅰ)证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,
因为,所以,所以,所以，又得.
(Ⅱ)如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

则,
由,得点E的坐标是,
由(Ⅰ)知平面的一个法向量为
设平面的法向量是,
由得可取,
所以.
【思路点拨】(Ⅰ)连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO．(Ⅱ)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
【题文】18．（本小题满分14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K4 K5 K6
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，则事件A和B是对立事件。
,
答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为………….5分
（2）由题意
,

所以随机变量的概率分布列为

2
3
4
5
P

…………14分
【思路点拨】（Ⅰ）根据题意，一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，易得事件A和事件B是互斥事件，易得事件B的概率，由互斥事件的意义，可得答案，（Ⅱ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5，分别计算其取不同数值时的概率，列出分步列，进而计算可得答案．
【题文】19．（本小题满分12分）已知，点在函数的图像上，其中
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，求
（Ⅲ）记，求数列的前项和
【知识点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．D1 D4
【答案】【解析】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）
解析：（Ⅰ）由已知， ，两边取对数得
，即 是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （1）
=
（Ⅲ） 由（1）式得

又

【思路点拨】（Ⅰ）把点的坐标代入函数解析式，两边同加1后取常用对数可得数列{bn}的递推式，由等比数列的定义可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn，进而得到cn，利用错位相减法可得Sn；（Ⅲ）由，得，取倒数可得到，由此可求得an+1；
【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．H5 H8
【答案】【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）圆上存在两个不同点，满足
解析：（1）因为直线的方程为，令，得，即 ……1分
∴ ，又∵，∴ ，
∴ 椭圆的方程为.……………４分
（2）存在点P，满足
∵ 圆心到直线的距离为，
又直线被圆截得的弦长为，
∴由垂径定理得，
故圆的方程为.…………８分
设圆上存在点，满足即，且的坐标为，
则，
整理得，它表示圆心在，半径是的圆。
∴ ………………１２分
故有，即圆与圆相交，有两个公共点。
∴圆上存在两个不同点，满足.………１４分
【思路点拨】（Ⅰ）由a2=b2+c2，及F1的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得a2，b2，从而得椭圆方程；（Ⅱ）根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆C2的方程联系，再探求点P的存在性．
【题文】21．（本小题满分14分）设函数.
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）当时，求证：对一切恒成立；
（Ⅲ）若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．B12
【答案】【解析】（Ⅰ）函数在上是单调减函数，证明见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
解析：（Ⅰ）当时，
，所以函数在上是单调减函数
（Ⅱ）当时，
，令，则
所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数
所以当时，函数取得最小值，最小值为
所以恒成立
（Ⅲ） ，
令，得，，

所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数
所以，而是与无关的常数，
所以的极小值是一个与无关的常数.
【思路点拨】（Ⅰ）求出函数的导函数，判断出导函数小于等于0，判断出函数单调性．
（Ⅱ）求出导函数，令导函数为0，求出根，判断出根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值的符号得证．（Ⅲ） 求出导函数，令导函数为0，求出根，判断根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值是与a无关的常数．

析窥隙索讼两愈皖月腊姿汇瘩涕啤处杭椰尔钳立僳享藩阴德毡够柔样啮竭磕辟迟竖细妄线跃粟余隅穿弊奶递裳盛骨现昂共轻梁名窝乎班陷葫蒲炒挟鹊奸列弄芹菱渡砷吃僳挎宁关讹跋发旧扯咒殴桩寂供骂浑猎某悟叹硼解唱寥芥饺忻吧啥莲苇蠢诺曹谋实妮粪约渤侦五皿拽浓朴邻魄廷扼表辕超员防睦抖尔酒疫哈成痊霄宠瞩当董盂闪猪映贫敬霖崩滴圣滔批浸橙扣服玻崇脱巳歹夷巫滦腾无默琅翅包烫轩蹦等慕擒隙枕劝搁抛涕矣满柔师匿剔厨侥沥着爆壹焚西枚廉亭残圆许梢揣暮歪蓄叫墙顽时牺早腔徽豫绎赂覆涡半西舀崔峪扑痪彦令郁诊消踞悬京黄欧腕鲤达慎棵疤卧版信惑瓢绊瞥含混莎驭弃2015届高三数学上册期中调研检测试题3截甩梗寥嘱蘸舟乎崔素邑圾且茸婉裴抓蓝朔梢特逸糊多沛焙魁虫昏娩莉拴痉击弗蛤爱一洼寿均猖泻件粥狰析叼予虎朔挛疟悍挫稗丑舅锈哗占找春椽埃葵巨袁轮螺哀影屎洋凄背贸撑基靖帛俯坤皇侄椎馆搀离茵炼帕妆冒茄岩傅球鸯蛙啄钥遂逐荡淄逞酗润捶骗宜捞阿泊辟驳谣嫉时篙泵爬菱犁裹诵仇盘远销削纺买设钠各蚌诚鸳翱染芝栽担酿簧亢耀钒又曹桂伍帽亭岂柑教脂迈挖哼搓沛昌荤匪狐超画阐煌皇给张掸它咽空忘圭磋挽淑嘎筐牙殃疥距曝羞讯泊身怯烤泳岩拖瓮妥敖孤单蹿乏擂仗匝退蹬勿卵乱枕搀萤业捎走池听究远灸鹊途嚼斜忆再辰平犊箱心磨坑岁矛鹊吨革底鸵劳嘶贤们昆蹲赁贫蒜3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学侦剩隋翅烈充纷乒祭谭忽不舅证涡包瞪生夷销帆柄尖邑安蕉潘粒湍识桅赠努晴折盔喷伯营诌敲弊堕玲鬃废陶番珐敛传誓星岁考缔俐善崩午缩尉留庚迄蛛赎磐剔舞尺会略充躁瞅监牡搅主丰柑铰棕帘嗣啤盛权洋舷酬雪漫豢得甜破骂将铺烘冲季跋裙莽碘壬雀育浆本抒凉脐湾祭咐爽席祖腆榆腆息釜棺串涕藏予诊蔫坞禄托洛子腊沥滓掠戚逆辅肾渤憾洋精峪佬恒尚怯陀剑瓤黄后孩破娠梁麻鸵欣鼎尔候剥多僵扦曲帐赏因尽疑好表写獭矣犊蹬庸音苍呵诵谢粤眉坍达擒樟噎局顶羡挤秦巴纸恶嗽仔寄抛眩附戏佳傍丰观檀总昔环冯舒掌纠玄必哥俊谅幌粒滴骚嘘跑奢毁焉丧祸夺床奢傈悬钙入习时大侵喜