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高等数学中极限的分析与研究
【摘 要】极限是在高等数学中一种基础且比较重要的知识, 本文是针对高等数学中有关极限的一些分析与研究, 主要以一元和二元函数的极限为主。针对大学生如何学习并掌握极限而提出的若干种求极限的方法。
【关键词】 极限 洛必达法则 积分中值定理 等价无穷小 夹逼准则 泰勒公式
1、 函数极限的定义和性质
1.1 函数极限的定义( 函数极限的定义)
定义 1: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数.若对任给的, 存在正数, 使得当时, 有 ,
则称函数当趋于时以为极限, 记作 .
定义 2: 设为定义在上的函数, 为常数, 若对任给的, 存在正数() , 使得当时有
则称函数当趋于时以为极限,记作
或
2 函数极限求解若干方法
2.1 一元函数极限求解方法
2.1.1 利用定义求极限
例 1证明: .
证: 要使因此 取当时, 有成立, 即.
注 用极限的定义时, 只需要证明存在,当N>n时存在|f(x)-A |故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、 缩小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑.
2.1.2利用极限的运算法则求极限
定理 1 已知, 都存在, 极限值分别为, , 则
(1) ;
(2) ;
(3) ( 此时需成立).
例 2求极限

注 1 对于和、 差、 积、 商形式的函数求极限, 能够采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法一般有分式的通分、 约分、 分解因式、 分子分母有理化、 三角函数的恒等变化、 拆项消去法、 比较最高次幂法等.
注 2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.
2.1.3 用单调有界准则求极限
定理 2 在实数系中, 有界的单调数列必有极限.
例 3 ,
求证: 数列单调递减有下界
求
,因此
故有下界
又
即, 故数列单调递减

由知:
对两边取极限得
解得

注: 利用单调准则证明极限存在, 主要针对递推数列, 必须验证数列两个方面的性质: 单调性和有界性. 解题的难点在于判断单调性, 一般经过数学归纳法、 减法、 除法比较前后项．
2.1.4利用两个重要极限求极限
两个重要极限:( 1); (2).
根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广:
(1) ();
(2) .
例 4 求极限:
原式

2.1.5 利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限
定理 3 设函数在内有定义, 且有
.
(1) 若, 则;
(2) 若, 则.
性质 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量;
性质 2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量;
性质 3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.
定理 4 设,均为无穷小, 且, 且存在,
则 .
例 5 求

注 1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.
注 2 常见等价代换公式: 当时, , , ,
, , 等.
2.1.6 利用洛必达法则求极限
2.1.6.1 型不定式极限
定理 5 若函数和满足:
(1) ;
(2) 在点的某空心邻域内两者都可导, 且;
(3) (可为实数, 也可为),
则 .
2.1.6.2 型不定式极限
定理 6 若函数和满足:
(1) ;
(2) 在点的某空心邻域内两者都可导, 且;
(3) (可为实数,也可为),
则 .
注 洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 可是, 对于其它不定式的极限( 如 等类型) 如果无法判断其极限状态, 则罗必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般能够化为型和型的极限.

2.1.7 利用导数的定义求极限
定义 2 设函数在点的某个邻域内有定义, 若极限

存在,则称函数在点处可导, 并称该极限为函数在点处的导数, 记作.
例 7 求极限:
解: 原式

注 对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.
2.1.8 利用微分中值定理求极限
2.1.8.1 用拉格朗日中值定理求极限( 或柯西中值定理)
定理 7 (拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件:
(1)在闭区间上连续;
(2)在开区间上可导,
则在上至少存在一点,使得 .

2.1.8.2 用泰勒展式求极限( 或麦克劳林展式)
例 9 求
解: 将用泰勒公式展开有

注 1 常见展式:
,
等.
注 2 在计算过程中, 要注意高阶无穷小的运算及处理.
2.1.9 利用夹逼准则与定积分求极限
2.1.9.1 利用夹逼准则求极限
定理 8 设, 且在某一空心邻域内
有 ,
则 .
注 1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.
注 2 利用夹逼准则求函数极限的关键:
( 1) 构造函数, , 使;
( 2) , 由此可得.

2.1.9.2利用定积分的定义及性质求极限
定义 3 设在上的一个函数, 是一个确定的实数. 若对任给的正数, 总存在某一正数, 使得正确任何分割, 以及其上任意选取的点集, 只要, 就有 ,
则称函数在区间上可积, 数称为在上的定积分,
记作 .
若用极限符号表示定积分, 可写作.
注 由定积分的定义我们知道, 定积分是某一和式的极限, 因此, 如果关于的某一和式能够表示成某一积分的形式时, 则可利用定积分, 求出这个和式的极限, 显然, 若要利用定积分求极限, 其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.
例 10
解: 原式

又
而=

而

即由夹逼准则得 原极限
2.1.9.2 利用积分中值定理求极限
定理 10 设与都在上连续, 且在上不变号, 则至少存在一点, 使得 .
例 11 求极限.
解: 取, , , 则在上的最小值, 最大值, 由积分中值定理知 .
因为, 因此 .
2.1.10 利用级数求解极限
2.1.10.1 利用级数展开式求极限
例 12 .
解: 利用幂级数的展开式, 可得
原式
.
注 从已知的展开式出发, 经过变量代换、 四则运算、 逐项求导、 逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式.
2.1.11 利用黎曼引理求极限
定理 9 若在上可积, 是以为周期的函数, 且在上可积, 则有 .
例 13 计算.
解: 因为的周期为,
2.2 二元函数极限求解方法
二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别． 在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限变得更加复杂, 它实质上是包含任意方向的逼近过程, 是一个较为复杂的极限, 对于二元函数的二重极限, 其重点是研究极限的存在性以及具体的求解方法．
引例 求
原解法: 因为对, 取,
当, , 且()(0,0)时, 有<, 由极限的定义得 .
新解法: 令当( )(0,0)有,
因为,
因此
两者相对比, 我们就会发现, 此例用极坐标代换求极限比用定义求解简单的多, 那么, 选择一个正确的解题方法就显得尤为重要了． 下面, 我会对各类方法进行探索.
2.2.1利用定义, 证明某极限为某数或不存在．
例 14
证明:
>0,对,
有即

2.2.2 将函数变形, 想办法约去零因式( 或无穷大因式)
例 15
解: 原式=
=
=1+0=1

2.2.3 利用等价无穷小来代换
例 16: 求 .
解: 当时, ,和是等价无穷小,
故原极限.

2.2.4变量代换
第一类: 依据函数的特殊类型, 利用两变量的和, 平方和及乘积等做代换, 将二元函数求极限的问题, 整体或者部分转化为一元函数的极限问题.
（1） 当( 的常数), 二元函数的极限, 作代换, 相应的有, 利用已知一元函数的极限知识.
例 17 ().
解: 因为, 当时, 令,
则 ,.
因此 .

第二类: 讨论当( ), 二元函数极限, 用变量变换,.则.
例 18 求

因 因此故
而当时, 因此
【结语】极限是高等数学的基础, 极限思想直接影响到微分、 积分、 导数的解法, 如果没有极限思想和极限理论, 我们的近代数学殿堂就不会如此辉煌, 因此极限的重要性不言而喻。经过大一对极限的学习, 我们对极限学习中所存在的不知如何求解极限的问题做出了相关方法的总结和进一步分析。相信在正确领会极限的定义以及解答方法的条件下, 突破此难点并非难题。
参 考 文 献

[1] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题. 济南: 山东科学技术出版社, 1999
[2] 数学考研考点精讲方法精练 西安交大出版社,
[3] 数学分析全程辅导及习题精讲 中国水利水电出版社,
[4] 高等数学辅导 国家行政学院出版社,
[5] 高等数学教学辅导书 高等教育出版社,
[6] 高等数学学习指导 北京邮电大学出版社,
[7] 大学生数学竞赛习题精讲 清华大学出版社,