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专题复习1：利用轴对称求最值

专项复习一：距离和最小问题 班级 姓名
基础知识：
直线外一点和直线上各点的所连线中， 最短.简称： 最短。
平面上连接两点的所有线中， 最短. 简称：两点之间， 最短。
知识探索：
一、关于 一 条变化线段最短问题
思路指导：此类问题一般应用垂线段最短来解决
例1.如图1，一次函数交两坐标轴与A，B两点，M点坐标为（,0），N为直线AB上的一个动点，当MN取最小值时MN= ，此时N点坐标为 .
练习：
1. 如图2,矩形ABCD中AB=6，tan∠ADB=,E为对角线BD上一个动点，则AE的最小值为 .
2. 如图3,菱形ABCD中，AB=10，∠B=45°，M为BC上一个动点，则AM的最小值为 .
3. 如图4,⊙O直径为10，弦AB长为8，M为AB上一点，则OM的最小值为 .
4. 如图5,在直角坐标系中，点C坐标为（-4，-3），⊙C半径为1，P 为x轴上一个动点，PQ切⊙C于Q，
则当PQ最小时，P点坐标为 .

5. 如图6，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，，，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

6.已知MN为一条东西走向的公路，在公路的一侧是平坦的草原，大伟驾驶汽车从A处出发到位于点A东北方向（北偏东45°）的B处，B距离公路的距离BC为10km，已知汽车在公路上的行驶速度为40km/h，在草原上的速度为20km/h，大伟规划了两种方案：
方案一：直接沿线段AB行驶从A到B
方案二：现沿公路行驶至C处，再沿CB从C到B
（1）请你计算哪种方案用时较少？
（2）同行的王教授提出，如果沿公路先行驶一段距离，再沿直线方向到
B可以用时较少;
Ⅰ. 汽车先沿公路行驶5km到D，再沿DB到B，求所用时间.
Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.

二、关于两（多）条线段和最小问题
思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。即将连接两点的折线转化为线段最短问题
1. 直接运用两点间线段最短解决问题.
例： 如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，
C点坐标为 ，此时AC+BC的最小值为 .
练习： 如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，
P在上运动，则PA+PB+PC的最小值为 .
2.平移后应用两点间线段最短
例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）
（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值
（2）求AC+CD+DB的最小值.

练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.

3.旋转后应用两点间线段最短
例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
练习：点O 为正方形ABCD内一点，
（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值
（2）若OB+OC+OD的最小值为，求正方形的边长

4.对称后应用两点间线段最短
数学模型
已知：如图14，直线 l 及直线同侧两点 P、Q，在直线 l 上求作点M，
使线段PM+QM最小，并说明理由
关系探究
上图中：相等的角：
线段关系：
类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）
练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则 PM+PN的最小值 .
2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则 PE+PB的最小值 ..
3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC边的中点，P为对角线BD上的一动点，则 PM+PC
的最小值
4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上
有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .
5.如图19，已知⊙O的半径为1， AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，
点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值 .

6. 如图20，已知⊙O的半径为1， AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值 .
7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为 .
8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为
9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点到点所经过路径的长为 ．
10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是 .
11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为，则正方形边长为 .
12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．
(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．

13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由

14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为
（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）
例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为
练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为 .

2.如图30，在锐角△ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．
3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
类型三：单动点双对称轴
例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为 .
练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为 .
2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为 .

3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.

类型四. 双动点双对称轴
例： 已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。P’为P关于OA的对称点，Q’为Q关于OB的对称点，连接P’Q’交OA，OB于M、N则四边形PMNQ为周长最小的四边形.请结合所给图形说明理由.

练习：1.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图11（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．
（1）求、，并比较它们的大小；
（2）请你说明的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

2. 如图37，以矩形OABC的顶点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3, OC=2,点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴的正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。

类型四. 对称，平移综合
例：如图38，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

练习：1. 已知：如图，A(1，2),B(4，3),C(m.0)，D（m+1，0）
求当四边形ABCD周长最小时m的值。

综合练习
1、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．
(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

2. 如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．
（1）试证明：无论点运动到何处，总与相等；
（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；
（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；
（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标．
y
O
x
P
D
B

图41

3.一只蚂蚁从圆柱下底面B处沿圆柱表面爬行到上底面D处，圆柱底面半径为1，圆柱高为h，现有两条路线可供选择（本题中π取3）
方案设计
路线一：沿圆柱侧面绕行，请在图中右边的侧面展开图中画出最短路线
路线二：沿圆柱侧面从B爬到A，再沿直径AD爬到D
观察计算
（1）路线一中最短路线长d1为 .
（2）路线二中路线长d2为 .
探索归纳：
（1）①当h=4时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）
②当h=时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）请你就h（当h>0）的所有取值情况进行分析，要使蚂蚁所爬路线较短，应选择路线一还是路线二？

4．在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，
．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

A
B
P
l
l
A
B
P

C
图1
图2
l
A
B
P

C
图3
K

观察计算
（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，
km（用含的式子表示）．
探索归纳
（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

5、如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，-3），B(4，-1）
（1）若P(p,0）是x轴上的一个动点，则当p=______时，△PAB的周长最短；
（2）设Ｍ，Ｎ分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点Ｍ(m，0），Ｎ(0，n）,使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______， n ＝ ______
（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由；
（3）若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点，则当a =______时，四边形ABDC的周长最短.