欧几里得几何学的公理体系样本.doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何( Euclid geometry) 起源于古埃及, 当尼罗河泛滥后, 为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此她们用geometry一词, 其原意就是”丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid原本把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来, 而成为一个逻辑体系. 由于这个原本中包含了图形的知识、 实数理论的原型、 数论等, 而直接研究图形的部分最多, 因此, 中文译本将书名译成为几何原本. ( ”几何”来自”geo”的音译) 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段, 几何学就意味着数学的全部, 古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中. ”数”与”形”的结合, 是17世纪开始的, 由于代数学、 分析学的发展, 并形成了几何学、 代数学、 分析学等独立的数学分支, 数学家R.Descartes首先建立了解析几何学, 她利用坐标系, 将图形问题转化为数量之间的问题, 并用代数的计算方法来处理几何问题. 于是, 相对于解析几何学来说, 不用坐标而直接研究图形的几何学, 称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展, 就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何, 这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理. 在维向量空间建立后, 几何体系就综合成了维欧几里得几何、 维射影几何、 维非欧几何. 把几何学用”群”的观点统一起来加以论述, 也就是”埃尔兰根纲领( Erlangen program, 1872) ”, 德国数学家F.Klein的一篇不朽论文) : 每种几何学视为由一个点集组成的”空间”, 以及”由到的变换群”所确定的, 研究的子集( 图形) 性质中对于来说不变的性质, 这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天, 几何学的发展日新月异, 微分几何学及其发展Riemann几何学、 代数几何学, 在20世纪取得辉煌的成就, 举世瞩目. 欧几里得几何学: 以平行公理为基础的几何学, 其公理体系的核心是: ”第五共设”两条直线与第三条直线相交, 在第三条直线一侧的两个角( 同旁内角) 之和小于两直角时, 此两条直线必在此侧相交. 它等价于过不在直线上的点且平行于的直线有且仅有一条. 最初, 几何学的研究对象是图形, 首先要用到空间的直观性. 可是, 直观性有时缺乏客观性, 必须明确规定公理、 定义, 排出直观, 建立纯粹的、 合乎逻辑的几何学思想. 几何原本已经从事建立公理、 定义的工作, 但毕竟距今太远, 缺陷很多, 公理也不完备. 19世纪后半叶, D.Hilbert( 就是在19 世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家, 这23个问题推动了20世纪数学的快速发展) 公理体系形成了, 它是包含了欧几里得几何公理的、 更加完善的几何公理体系. 欧几里得几何原本的简单介绍 全书共13卷, 除第5、 7、 8、 9、 10中讲述比例和算术理论外, 其余各卷都是关于几何内容的. 第1卷: 平行线、 三角形、 平行四边形的有关定理; 第2卷: 毕达哥拉斯定理及其应用; 第3卷: 关于圆的定理; 第4卷: 圆的内接与外切多边形定理; 第6卷: 相似理论; 第11、 12、 13卷: 立体几何. 几何原本是一个数学知识的逻辑体系, 结构是由定义、 共设、 公理、 定理组成的演绎推论系统. 开始给出了23个定义. 前6个定义是: ( 1) 点没有大小; ( 2) 线有长度没有宽度; ( 3) 线的界是点; ( 4) 直线上的点是同样放置的; ( 5) 面只有长度没有宽度; ( 6) 面的界是线. 其次是5个共设: ( 1) 从任一点到另一点能够引一直线; ( 2) 有限直线能够无限延长; ( 3) 以任意点为圆心, 可用任意半径作圆; ( 4) 所有直角都相等; ( 5) 若两条直线与另一条直线相交, 所成的同旁内角之和小于二直角, 则此两直线必在这一侧相交. 然后是5个公理: ( 1) 等于同量的量相等; ( 2) 等量加等量其和相等; ( 3) 等量减等量其差相等; ( 4) 可重合的图形全等; ( 5) 全体大于部分. 公理之后是一些重要的命题. 要强调两点 1、 ”第五共设”等价于”平行公理”: 2、 欧几里得的几何原本有许多缺点, 例如几何逻辑结构还很不严谨; 对一些定义叙述不够清晰、 甚至含混不清; 共设、 公理还很不够, 以至于很多定理的证明要靠几何直观, 等等. 然而, 从辩证唯物主义的观点来看, 它依然是一部不朽的著作. 19世纪末, 德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的几何基础, 成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系, 称为著名的Hilbert公理体系. 希尔伯特的五组公理包含: 结合公理、 顺序公理、 合同公理、 平行公理、 连续公理. 由此五组公理, 可以推出欧几里得几何中的所有定理, 与欧几里得几何的全部内容, 因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系. 希尔伯特几何基础的简单介绍 希尔伯特公理体系: 一、 结合公理 ( incidence axioms) 结合性叙述了点、 线、 面位置关系, 叙述为”在上”或”经过”. ( 1) 对于两点、 , 存在经过、 的直线; ( 2) 当两点、 不相同时, 经过此两点的直线是唯一的; ( 3) 每条直线上至少有两个点; 至少存在三个点不在同一条直线上; ( 4) 对于不在同一条直线上的三点、 、 , 存在经过这三点的唯一的一个平面; ( 5) 每个平面上至少有一个点; ( 6) 若直线上有两点在平面上, 则直线上的每一点都在平面上; ( 7) 若两平面、 经过一点, 则它们必经过另一点; ( 8) 至少存在4个点不在同一个平面上. 二、 顺序公理( order axioms) 顺序性确定了几何元素的顺序关系, 叙述为”在之间”. ( 1) 若、 、 在同一直线上, 且”点在与之间”, 则”在与之间”; ( 2) 对于不同的两点、 , 在经过它们的直线上至少存在一点, 使得在与之间; ( 3) 对于在一条直线上的三点、 、 中, 至多有一点在另两点之间; ( 亦即, 若在、 之间, 则不可能在、 之间; 由以上三条, 由此得到: 在直线上的点能够赋予线性的序; 在直线上, 能够定义线段, 以、 为端点的线段记为或; 定义线段的内部, 外部) ( 4) 设、 、 是不在同一直线上的三点, 是经过三点的平面, 也记为, 是平面上的直线, 但不经过、 、 中的任何一点.若直线经过线段上的点, 则或经过线段上的一点, 或经过线段上的一点; ( Pasch, 帕施公理) . 三、 合同公理( congruence axioms) 合同性确定了线段或角的合同关系, 叙述为”合同于”或”等于”. ( 1) 如果两点、 在直线上, 点在同一条或另一条直线上, 则直线上的点的一侧存在点, 使得线段”合同”于, 记为; ( 2) 线段的合同关系是一个等价关系; ; ; 、 ; ( 3) 设、 是直线上的两线段, 没有公共内点, 又设、 是直线( 与可同, 或不同) 上的两线段, 也没有公共内点. 若、 , 则; ( 4) 设平面上有一个角, 又在平面( 与可同, 或不同) 上有一条直线, 并且指定了平面被直线分为两侧. 取直线上的一点, 并从出发、 在直线上引射线, 则在平面的该侧上, 有且仅有一条射线, 使得角合同与角, 记为 ; ( 5) 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义: 设平面上经过同一点的两不同直线为、 . 由点出发, 分别在与上引两条射线, 记为、 . 将这一对射线的所决定的集合称为平面上的角, 记为或; 若、 分别为射线与射线上的点, 也记此角为. 称为角的顶点; 射线、 称为角的边. 角的合同关系用几何语言叙述为: 设是平面上的角, 是平面上的直线( 与可同、 可不同) ; 过上的一点, 作上一射线. 则在上必存在过的唯一一条射线, 使得. 角的合同关系是一个等价关系; 设、 、 与、 、 分别为不在一直线上的三点, 如果有、 、 , 则必有. 四、 平行公理( parallel axioms) 平行公理确定了直线的平行关系, 叙述为”平行于”. 对于任意直线与不在上的一点, 则在与确定的平面上, 有且仅有一条直线经过点且不与直线相交. 五、 连续公理( continuity axioms) ( 1) 对于任意两线段、 , 在经过线段的直线上, 存在有限多个点、 、 、 , 使得、 、 、 都合同于线段, , 而且使得”在与之间”( 阿基米德公理( Archimedes) ; 或称直线的连续性公理) ; ( 2) 一直线上的点的集合, 在保持结合公理的( 2) , 顺序公理的( 2) , 合同公理的( 1) -( 5) 与连续公理的( 1) 的条件下, 不可能再扩充 ; ( 直线的完备性公理) .由Hilbert建立的五个公理体系能够推得欧几里得几何的全部内容. 平行公理是欧几里得几何的”灵魂”, 若将其余4个公理保留, 将平行公理改为罗巴切夫斯基公理, 就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容. 数学科学中, 允许同时成立两个对立的公理体系, 而且这种对立的体系具有同样的真理性. 仿射几何 ( 一) 维仿射空间: 设是一个维线性空间, 是一个集合, 中的元素称为”点”, 如果中的两点、 对应于中的唯一的向量, 满足: ( 1) 等于中的零向量; ( 2) 任给中一点, 任给中的向量, 则在中存在唯一的点, 使得; ( 3) 对于中的三点、 、 , 有等式; 则称为一个维仿射空间; 特别地, 时, 称为仿射直线; 时, 称为仿射平面; 时, 称为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量. 仿射直线、 仿射平面、 仿射空间的实际例子: 对于一维、 二维、 三维欧氏空间, 若不使用欧氏距离, 仅仅视为集合, 则它们分别是一维仿射直线、 二维仿射平面、 三维仿射空间. ( 二) 仿射几何学: 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、 平行性、 单比, 等. 三维仿射空间中的仿射坐标系: 设、 、 是三维仿射空间中三个不共面的向量, 称它们为中的一组基. 能够证明, 空间中的任意向量, 可用基、 、 表示, 把有序实数称为向量的仿射坐标. 空间中的一个点与一组基, 合在一起称为空间的一个仿射坐标系( 也称为仿射标架) . 也常见记号. 仿射坐标系中的、 、 只需不共面, 不必相互垂直. 若两两互相垂直, 则仿射坐标系就是直角坐标系. 仿射变换: 设仿射空间中有两组仿射坐标系、 , 点在仿射坐标系中的坐标为, 在中的坐标为, 到的点的仿射坐标变换公式: 设点在、 中的坐标分别为、 , 则; 到的向量的仿射坐标变换公式: 设向量在、 中的坐标分别为、 , 则.射影几何 ( 一) 射影平面、 射影空间在仿射平面、 仿射空间中, 引进无穷远点, 则称它们为扩大了的仿射平面、 扩大了的仿射空间. 在扩大了的射影平面、 射影空间中, 若将原有的点与引进的无穷远点不加区别, 得到的平面、 空间就称为射影平面、 射影空间. 在射影空间中, 任意两条直线必定相交( 平行直线相交于无穷远点) 、 任意两个平面必定相交( 平行平面相交于无穷远直线) 、 任意直线与平面必定相交( 平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点) . ( 二) 射影几何学 在定义齐次坐标、 射影坐标、 射影变换之后, 就能够讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了. 平行公理是欧几里得几何的”灵魂”, 若将其余4个公理保留, 将”欧几里得平行公理”改为”罗巴切夫斯基公理”, 就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容. 数学科学中, 允许同时成立两个对立的公理体系, 而且这种对立的体系具有同样的真理性.