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欧几里得几何学的公理体系.

欧几里得几何( Euclid geometry) 起源于古
埃及, 当尼罗河泛滥后, 为了重新整理土地而需要
进行丈量. 因此她们用geometry一词, 其原意就是
”丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid
《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理
出来, 而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包
含了图形的知识、 实数理论的原型、 数论等, 而直接
研究图形的部分最多, 因此, 中文译本将书名译成为
《几何原本》. ( ”几何”来自”geo”的音译)
几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在
这一阶段, 几何学就意味着数学的全部, 古代数学家
把萌芽中的代数学也包括在几何学中.
”数”与”形”的结合, 是17世纪开始的, 由于
代数学、 分析学的发展, 并形成了几何学、 代数学、
分析学等独立的数学分支, 数学家R.Descartes首先
建立了解析几何学, 她利用坐标系, 将图形问题转化
为数量之间的问题, 并用代数的计算方法来处理几何
问题.
于是, 相对于解析几何学来说, 不用坐标而直接
研究图形的几何学, 称之为纯粹几何学. 纯粹几何学
的进一步发展, 就是射影几何学.
十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何, 这种几何否
定了欧几里得几何中的平行线公理.
在维向量空间建立后, 几何体系就综合成了
维欧几里得几何、 维射影几何、 维非欧几何.
把几何学用”群”的观点统一起来加以论述, 也就是
”埃尔兰根纲领( Erlangen program, 1872) ”, 德国
数学家F.Klein的一篇不朽论文) : 每种几何学视为
由一个点集组成的”空间”, 以及”由到的变
换群”所确定的, 研究的子集( 图形) 性质中对
于来说不变的性质, 这就是几何学.
在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天, 几何学
的发展日新月异, 微分几何学及其发展Riemann几何
学、 代数几何学, 在20世纪取得辉煌的成就, 举世
瞩目.

欧几里得几何学:
以平行公理为基础的几何学, 其公理体系的核心
是: ”第五共设”
两条直线与第三条直线相交, 在第三条直线一
侧的两个角( 同旁内角) 之和小于两直角时, 此两
条直线必在此侧相交.
它等价于
过不在直线上的点且平行于的直线有且
仅有一条.

最初, 几何学的研究对象是图形, 首先要用到
空间的直观性. 可是, 直观性有时缺乏客观性, 必
须明确规定公理、 定义, 排出直观, 建立纯粹的、
合乎逻辑的几何学思想.
《几何原本》已经从事建立公理、 定义的工作,
但毕竟距今太远, 缺陷很多, 公理也不完备. 19世
纪后半叶, D.Hilbert( 就是在19 世界数学家
大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学
家, 这23个问题推动了20世纪数学的快速发展)
公理体系形成了, 它是包含了欧几里得几何公理的、
更加完善的几何公理体系.

欧几里得《几何原本》的简单介绍 ——

全书共13卷, 除第5、 7、 8、 9、 10中讲述比例
和算术理论外, 其余各卷都是关于几何内容的.
第1卷: 平行线、 三角形、 平行四边形的有关定理;
第2卷: 毕达哥拉斯定理及其应用;
第3卷: 关于圆的定理;
第4卷: 圆的内接与外切多边形定理;
第6卷: 相似理论;
第11、 12、 13卷: 立体几何.

《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系, 结构
是由定义、 共设、 公理、 定理组成的演绎推论系统.

开始给出了23个定义. 前6个定义是:
( 1) 点没有大小;
( 2) 线有长度没有宽度;
( 3) 线的界是点;
( 4) 直线上的点是同样放置的;
( 5) 面只有长度没有宽度;
( 6) 面的界是线.

其次是5个共设:
( 1) 从任一点到另一点能够引一直线;
( 2) 有限直线能够无限延长;
( 3) 以任意点为圆心, 可用任意半径作圆;
( 4) 所有直角都相等;
( 5) 若两条直线与另一条直线相交, 所成的同旁内角
之和小于二直角, 则此两直线必在这一侧相交.

然后是5个公理:
( 1) 等于同量的量相等;
( 2) 等量加等量其和相等;
( 3) 等量减等量其差相等;
( 4) 可重合的图形全等;
( 5) 全体大于部分.

公理之后是一些重要的命题.
要强调两点 ——
1、 ”第五共设”等价于”平行公理”:
2、 欧几里得的《几何原本》有许多缺点, 例如几何
逻辑结构还很不严谨; 对一些定义叙述不够清晰、
甚至含混不清; 共设、 公理还很不够, 以至于很多
定理的证明要靠几何直观, 等等. 然而, 从辩证唯
物主义的观点来看, 它依然是一部不朽的著作.

19世纪末, 德国数学家D.Hilbert于1899年
发表了著名的《几何基础》, 成功地建立了欧几里得
几何的完整的公理体系, 称为著名的Hilbert公理体
系.
希尔伯特的五组公理包含: 结合公理、 顺序公理、
合同公理、 平行公理、 连续公理. 由此五组公理, 可
以推出欧几里得几何中的所有定理, 与欧几里得几何的
全部内容, 因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构
非常完善而严谨的几何体系.

希尔伯特《几何基础》的简单介绍 ——
希尔伯特公理体系:

一、 结合公理 ( incidence axioms) ——
结合性叙述了点、 线、 面位置关系, 叙述为
”在上”或”经过”.
( 1) 对于两点、 , 存在经过、 的直线;
( 2) 当两点、 不相同时, 经过此两点的直线
是唯一的;
( 3) 每条直线上至少有两个点; 至少存在三个点
不在同一条直线上;
( 4) 对于不在同一条直线上的三点、 、 ,
存在经过这三点的唯一的一个平面;
( 5) 每个平面上至少有一个点;
( 6) 若直线上有两点在平面上, 则直线上
的每一点都在平面上;
( 7) 若两平面、 经过一点, 则它们必经过
另一点;
( 8) 至少存在4个点不在同一个平面上.

二、 顺序公理( order axioms)
顺序性确定了几何元素的顺序关系, 叙述为
”在之间”.
( 1) 若、 、 在同一直线上, 且”点在
与之间”, 则”在与之间”;
( 2) 对于不同的两点、 , 在经过它们的直线
上至少存在一点, 使得在与之间;
( 3) 对于在一条直线上的三点、 、 中, 至多有一点在另两点之间;
( 亦即, 若在、 之间, 则不可能在、
之间; 由以上三条, 由此得到:
① 在直线上的点能够赋予线性的序;
② 在直线上, 能够定义线段, 以、 为
端点的线段记为或; 定义线段
的内部, 外部)
( 4) 设、 、 是不在同一直线上的三点, 是
经过三点的平面, 也记为, 是平面
上的直线, 但不经过、 、 中的任何一点.
若直线经过线段上的点, 则或经过线
段上的一点, 或经过线段上的一点;
( Pasch, 帕施公理) .

三、 合同公理( congruence axioms)
合同性确定了线段或角的合同关系, 叙述为
”合同于”或”等于”.
( 1) 如果两点、 在直线上, 点在同一条
或另一条直线上, 则直线上的点的一
侧存在点, 使得线段”合同”于,
记为;

( 2) 线段的合同关系是一个等价关系;
;
;
、 ;
( 3) 设、 是直线上的两线段, 没有公共内
点, 又设、 是直线( 与可同,
或不同) 上的两线段, 也没有公共内点. 若
、 , 则;
( 4) 设平面上有一个角, 又在平面(
与可同, 或不同) 上有一条直线, 并
且指定了平面被直线分为两侧. 取直线
上的一点, 并从出发、 在直线上
引射线, 则在平面的该侧上, 有且仅有一
条射线, 使得角合同与角,
记为 ;
( 5) 角的合同关系也是等价关系.

【注】 角的定义: 设平面上经过同一点的
两不同直线为、 . 由点出发, 分别在与上
引两条射线, 记为、 .

将这一对射线的所决定的集合称为平面上的角, 记
为或;
若、 分别为射线与射线上的点, 也记此
角为. 称为角的顶点; 射线、 称
为角的边.
角的合同关系用几何语言叙述为:
① 设是平面上的角, 是平面
上的直线( 与可同、 可不同) ; 过上的一点,
作上一射线. 则在上必存在过的唯一一条
射线, 使得
.

② 角的合同关系是一个等价关系;
③ 设、 、 与、 、 分别为不在
一直线上的三点, 如果有
、 、 ,
则必有
.

四、 平行公理( parallel axioms)
平行公理确定了直线的平行关系, 叙述为
”平行于”.
对于任意直线与不在上的一点, 则在与
确定的平面上, 有且仅有一条直线经过点且
不与直线相交.

五、 连续公理( continuity axioms)
( 1) 对于任意两线段、 , 在经过线段
的直线上, 存在有限多个点、 、 、
, 使得、 、 、 都合同于
线段,
,
而且使得”在与之间”( 阿基米德公理
( Archimedes) ; 或称直线的连续性公理) ;
( 2) 一直线上的点的集合, 在保持结合公理的
( 2) , 顺序公理的( 2) , 合同公理的( 1) -( 5)
与连续公理的( 1) 的条件下, 不可能再扩充 ;
( 直线的完备性公理) .

由Hilbert建立的五个公理体系能够推得欧几里
得几何的全部内容.
平行公理是欧几里得几何的”灵魂”, 若将其余4
个公理保留, 将平行公理改为罗巴切夫斯基公理, 就
可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.

数学科学中, 允许同时成立两个对立的公理体
系, 而且这种对立的体系具有同样的真理性.
仿射几何 ——

( 一) 维仿射空间: 设是一个维线性空间,
是一个集合, 中的元素称为”点”, 如果中的两点、 对应于中的唯一的向量, 满足:
( 1) 等于中的零向量;
( 2) 任给中一点, 任给中的向量, 则在中
存在唯一的点, 使得;
( 3) 对于中的三点、 、 , 有等式;
则称为一个维仿射空间; 特别地, 时, 称为仿射直线; 时, 称为仿射平面;
时, 称为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向
量.
仿射直线、 仿射平面、 仿射空间的实际例子: 对
于一维、 二维、 三维欧氏空间, 若不使用欧氏距离,
仅仅视为集合, 则它们分别是一维仿射直线、 二维仿射平面、 三维仿射空间.

( 二) 仿射几何学: 主要研究仿射空间中的图形
在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、 平行性、
单比, 等.
三维仿射空间中的仿射坐标系: 设、 、 是
三维仿射空间中三个不共面的向量, 称它们为中的
一组基. 能够证明, 空间中的任意向量, 可用基
、 、 表示, 把有序实数称为向
量的仿射坐标. 空间中的一个点与一组基
, 合在一起称为空间的一个仿射坐标系
( 也称为仿射标架) . 也常见记号
.
仿射坐标系中的、 、 只需不共面, 不必相互垂直.
若两两互相垂直, 则仿射坐标系就是直角坐标系.

仿射变换: 设仿射空间中有两组仿射坐标系
、 , 点在仿射坐标系
中的坐标为, 在中的坐标为
,
① 到的点的仿射坐标变
换公式:
设点在、 中的坐标分别为、 ,
则
;
② 到的向量的仿射坐标
变换公式:
设向量在、 中的坐标分别为、
, 则
.

射影几何 ——

( 一) 射影平面、 射影空间
在仿射平面、 仿射空间中, 引进无穷远点, 则称
它们为扩大了的仿射平面、 扩大了的仿射空间.
在扩大了的射影平面、 射影空间中, 若将原有的
点与引进的无穷远点不加区别, 得到的平面、 空间
就称为射影平面、 射影空间.
在射影空间中, 任意两条直线必定相交( 平行直
线相交于无穷远点) 、 任意两个平面必定相交( 平行
平面相交于无穷远直线) 、 任意直线与平面必定相交
( 平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点) .

( 二) 射影几何学 在定义齐次坐标、 射影坐
标、 射影变换之后, 就能够讨论射影空间中图形在
射影变换下不变的性质了.

平行公理是欧几里得几何的”灵魂”, 若将其余
4个公理保留, 将”欧几里得平行公理”改为”罗巴
切夫斯基公理”, 就可推出罗巴切夫斯基几何的全部
内容.

数学科学中, 允许同时成立两个对立的公理体
系, 而且这种对立的体系具有同样的真理性.