任意角的三角函数优秀.pptx

1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课新课 导入导入yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？o如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？诱思诱思 探究探究MOyxP(a,b)1.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为长度为半径的圆，称为单位圆单位圆.yOx1M2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么那么:（1）叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；（2）叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ；（3）叫做 的正切正切，记作 ，即 。所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定义域.xyo的终边的终边说说 明明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的横坐标，的横坐标，正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 横坐标等于横坐标等于0，无意义，此时无意义，此时 轴上时，点轴上时，点P 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以 思考：思考：若把角若把角 改为改为 呢呢?实例实例 剖析剖析P15.1根据上述方法否能求得特殊角三角函数值根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?角（角度）090180270360角（弧度）0/23/22sin 010-10cos 10-101tan 0不存在0不存在0例例2.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、于是，于是，设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离 .那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终在角的终边上的位置无关边上的位置无关.定义推广：定义推广：于是于是，巩固巩固 提高提高练习练习:1.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：解：由已知可得：由已知可得：P15.21.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+-+-+-+-yxo+-+-yxoyxo全为+yxo记法：记法：一全正一全正一全正一全正二正弦二正弦二正弦二正弦三正切三正切三正切三正切四余弦四余弦四余弦四余弦三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号心得心得:角定象限角定象限,象限定符号象限定符号.例例3.求证：当下列不等式组成立时，角求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角为第三象限角.反之也对反之也对 证明：证明：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同，那么这两个如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值.？例题例题（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（3）因为）因为 =而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以解：解：（2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以解：解：6.已知已知 在第二象限在第二象限,试确定试确定 sin(cos)cos(sin)的符的符号号.解解:在第二象限在第二象限,-1cos 0,0sin 1.-1,1 ,2 2 -cos 0,0sin .2 2 sin(cos)0.sin(cos)cos(sin)0.故故 sin(cos)cos(sin)的符号为的符号为“-”号号.1.内容总结：内容总结：三角函数的概念三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想划归的思想，数形结合的思想.归纳归纳 总结总结2.方法总结：方法总结：3.体现的数学思想：体现的数学思想：MAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数下面我们再从图形角度认识一下三角函数思考思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否为了去掉等式中得绝对值符号，能否 给线段给线段OM、MP规定规定一个适当的方向一个适当的方向,使它们的取值与点使它们的取值与点P的坐标一致？的坐标一致？我们把带有方向的线段叫我们把带有方向的线段叫有向线段有向线段.(规定规定:与坐标轴相同的方向为正方向与坐标轴相同的方向为正方向).).yxo 的终边的终边MP 的终边的终边TMAPTMAPTM AP=MPTM A（1,0）P这几条与单位圆有关的有向线段这几条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的分别叫做角的正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线正切线统称为统称为三角函数线三角函数线.当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在正切线不存在TM APTMAPTMAPTM APMPMP是正弦线是正弦线OMOM是余弦线是余弦线 AT AT是正切线是正切线y yxo o MMP PA AT T例例 题题 示示 范范例例2.2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1）；（；（2）例例1.在在0 内，求使内，求使 成立的成立的的取值范围的取值范围.OxyP PM MP P1 1P P2 2xyoP1P2xyo T A210 30 例利用单位圆寻找适合下列条件的例利用单位圆寻找适合下列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 POxyMATAB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：解：如图可知：如图可知：M2AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：解：如图可知：如图可知：例例5.5.求函数求函数 的定义域的定义域.OxyP2MP1PxyoMPATxyoy=-xPM 练习练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPMPPMxyoPMMPPM高考链接高考链接1.（2009全国）全国）的值为的值为()A.A.B.B.C.C.D.D.A A解析：解析：本题主要考察诱导公式本题主要考察诱导公式：2.（2009陕西）陕西）则则 的值为（的值为（）A.0A.0B.B.C.1C.1D.D.B解析：解析：本题考查同角三角函数的基本关系式和运本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因算能力，以及转化与化归的思想。因 故选故选B。3.(2007江西江西)若若 ，则则 等于（等于（）A.-3A.-3B.B.C.3C.3D.D.D D 小小 结结1.2三角函数线的定义，会画三角函数线的定义，会画 任意角的三角函数线；任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值利用单位圆比较三角函数值 的大小，求角的范围的大小，求角的范围.