catalan卡特兰数.doc
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1、栈是一种常见的数据结构,有许多关于栈的问题,其中之一就是统计元素可能的出栈序列。具体说,就是给定n个元素,依次通过一个栈,求可能的出栈序列的个数。如果我们用直接模拟的方法,当n较大时会很费时间;例如动态规划。令fi,j表示栈内有i个元素且栈外有j个元素还未进栈,那么以进栈还是出栈为决策就马上得到了转移方程fi,j=fi-1,j+fi+1,j-1。如此一来,很多重复的计算得以免去,效率大幅提高(时间复杂度为指数级,大概为N级的算法)。另一种方法是利用组合数学求出栈序列个数,得到公式 下面我们来看一种图形化的方法证明这个等式,很容易理解的。 我们把对n个元素的n次进栈和n次出栈理解为在一个n*n的
2、方格中向右走n次(代表进栈),向上走n次(代表出栈)。由于出栈次数不能大于进栈次数,我们可以得到这样一个方格:每次沿着实线走,所以,只要求出从方格左下角到右上角路径的个数即可。我们把表格补全,考虑每一条不合法的路径,如在这条路径上,必然有一个地方连续两次向上,即从图上蓝点处开始,而且这个点必然在如图所示的绿线上。我们以这个点为起点,把到左上角整条路经取反,也就是对称上去,得到一条新路径,但是超出了表格。我们知道,这条路径包括n+1次向上和n1次向下,也就是在一个(n+1)*(n-1)的方格中。由此我们知道,一条不合法路径必然对应一个(n+1)*(n-1)方格中的路径。同样地,对于(n+1)*(
3、n-1)方格中任意一条路径,以这条路径与绿线的第一个交点为起点到方格的右上方全部取反,即可得到一个在n*n方格中的不合法路径。我们通过这样的方法确定了每条不合法路径与一个(n+1)*(n-1)方格中路径的一一对应关系,因此,方格中不合法路径总数为C(2n,n-1),而所有路径总数为C(2n,n),两式相减即为原组合等式。解二:出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,.n,有多少个不同的出栈序列?分析:对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态1,出栈设为状态0。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1n的顺序排列、入栈的
4、操作数b大于等于出栈的操作数a(ab),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数。 在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。 不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的
5、2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。 反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。 因而不合要求的2n位数与n1个0,n1个1组成的排列一一对应。 显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)类似题目: 其中有一个类似的题目:有2n个人
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