3微积分定理与基本计算.doc
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1、3微积分定理与基本计算引入:由定积分计算引出 . 思路:表达面积函数 .一微积分学基本定理: 1. 微积分学基本定理: 定理 1( 微积分学基本定理 )若函数则面积函数 在上可导,且 =. 即当时, 面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是的一个原函数 .证:连续函数必有原函数.2. Newton Leibniz 公式:定理 2 ( N L公式 )( 证 )例1 ; ; 例2 .例3 . ( 与1 例3 联系 )例4 设 但, 证明 0. 证明分析: 证明 . 设 , 只要证明 . 为此证明: ) ( 只要); ) 但 不是常值函数 (只要), ) 又 . ( 证 )例5 证
2、明 ( 利用0,1上的不等式 ) 二定积分换元法: 定理3 设函数满足条件: , 且 ; 在上有连续的导函数.则 . ( 证 ) 例6 . ( 1P305 E4 ) 例7 . ( 1P305 E5 )例8 计算 .该例为技巧积分.例9 . 该例亦为技巧积分.例10 已知 , 求 例11 设函数连续且有求积分 例12 设是区间上连续的奇(或偶函数)函数,则 , (. )例13 三. 分部积分公式: 定理4 ( 分部积分公式 )例14 例15 计算 . 解 = ;解得 直接求得 , . 于是, 当为偶数时, 有 ;当为奇数时, 有 .习 题 课 一 积分不等式:1 利用积分关于被积函数的单调性证明
3、积分不等式:例1 证明不等式 .证 注意在区间 0 , 1 上有 , 例2 证明不等式 . 证 考虑函数, .易见对任何, 在区间 上和均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而 , .因此有 .取 , . 在区间仿以上讨论, 有 . 而 , .综上 , 有不等式 .某些不等式的积分推广:原理: 设函数和在区间 上可积. 为区间 的等分分法, . 若对任何和, 均有 , 即得 .令, 注意到函数和在区间 上可积, 即得积分不等式 .倘若函数和连续 , 还可由 .例3 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy不等式 ): 设函数和在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 )
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