2015年中考数学压轴题预测及答案详解-图形的旋转变换.pdf

2015 年中考数学压轴题预测及答案详解年中考数学压轴题预测及答案详解图形的旋转变换图形的旋转变换3-A.3-A.在中，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋ABCBA=BCBAC 四转得到线段 PQ。2 （1）若且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB 的度数；（2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB 的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出的范围。3-A.3-A.【答案】解：（1）补全图形如下：CDB=30。（2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD，AB=BC，M 是 AC 的中点，BMAC。AD=CD，AP=PC，PD=PD。在APD 与CPD 中，AD=CD，PD=PD，PA=PCAPDCPD（SSS）。AP=PC，ADB=CDB，PAD=PCD。又PQ=PA，PQ=PC，ADC=2CDB，PQC=PCD=PAD。PAD+PQD=PQC+PQD=180。APQ+ADC=360（PAD+PQD）=180。ADC=180APQ=1802，即 2CDB=1802。CDB=90。（3）4560。【考点考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。【分析分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出CMQ 是等边三角形，即可得出答案：BA=BC，BAC=60，M 是 AC 的中点，BMAC，AM=AC。将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ，AM=MQ，AMQ=120。CM=MQ，CMQ=60。CMQ 是等边三角形。ACQ=60。CDB=30。（2）首先由已知得出APDCPD，从而得出PAD+PQD=PQC+PQD=180，即可求出。（3）由（2）得出CDB=90，且 PQ=QD，PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802。点 P 不与点 B，M 重合，BADPADMAD。21802，4560。3-B3-B在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC1若ABA1的面积为 4，求CBC1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值3-B【3-B【答案答案】解：（1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45。CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90。（2）由旋转的性质可得：ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1。，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1。ABA1=CBC1。11BABABCBCABA1CBC1。1122ABACBCSAB416SCB525SABA1=4，SCBC1=。254（3）过点 B 作 BDAC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上。在 RtBCD 中，BD=BCsin45=。522如图 1，当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP1最小。最小值为：EP1=BP1BE=BDBE=2。522如图 2，当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大。最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。【考点考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析分析】（1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得CC1A1的度数。（2）由旋转的性质可得：ABCA1BC1，易证得ABA1CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面积。（3）由当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP1最小；当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大，即可求得线段 EP1长度的最大值与最小值。3-C3-CABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDN=B（1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角形（2）如图（2），将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E 与点 A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若 AB=AC=10，BC=12，当DEF 的面积等于ABC 的面积的时，求线段 EF 的长143-C【3-C【答案答案】解：（1）图（1）中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180，EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。BD=CD，即。BDDF=CEEDCDDF=CEEDCDCE=DFED又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。（3）连接 AD，过 D 点作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，HAB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，BD=BC=6。在 RtABD 中，AD2=AB2BD2，即12AD2=10262，AD=8。SABC=BCAD=128=48，SDEF=SABC=48=12。12121414又ADBD=ABDH，。1212AD BD8 624DHAB105BDFDEF，DFB=EFD。DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS）。DH=DG=。245SDEF=EFDG=EF=12，EF=5。1212245【考点考点】旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质。3-D3-D已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点，AEBF 于点 G，且BE=1（1）求证：ABEBCF；（2）求出ABE 和BCF 重叠部分（即BEG）的面积；（3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到ABE（如图 2），使点 E 落在 CD 边上的点 E处，问ABE在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由3-D【3-D【答案答案】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ABE=BCF=90，AB=BC。ABF+CBF=90。AEBF，ABF+BAE=90。BAE=CBF。在ABE 和BCF 中，ABE=BCF，AB=BC，BAE=CBF，ABEBCF（ASA）。（2）解：正方形面积为 3，AB=。3在BGE 与ABE 中，GBE=BAE，EGB=EBA=90，BGEABE。又BE=1，AE2=AB2+BE2=3+1=4。2BGEABESBE =()SAE2BGEABE2BE133S=S428AE（3）解：没有变化。理由如下：AB=，BE=1，。BAE=30。313tan BAE33AB=AD，ABE=ADE=90，AE=AE，RtABERtABERtADE，DAE=BAE=BAE=30。AB与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G。设 BF 与 AE的交点为 H，则BAG=HAG=30，而AGB=AGH=90，AG=AG，BAGHAG。AB EAGHABEABGBGEGHE BSSSSSS 四四 边ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积没有变化。【考点考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析分析】（1）由四边形 ABCD 是正方形，可得ABE=BCF=90，AB=BC，又由 AEBF，由同角的余角相等，即可证得BAE=CBF，然后利用 ASA，即可判定：ABEBCF。（2）由正方形 ABCD 的面积等于 3，即可求得此正方形的边长，由在BGE 与ABE 中，GBE=BAE，EGB=EBA=90，可证得BGEABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。（3）由正切函数，求得BAE=30，易证得 RtABERtABERtADE，可得 AB与AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G，然后设 BF 与 AE的交点为 H，可证得BAGHAG，从而证得结论。3-E3-E如图 1，四边形 ABCD 是边长为的正方形，长方形 AEFG 的宽,长将长方形 AEFG23AE72EF732绕点 A 顺时针旋转 15得到长方形 AMNH(如图 2)，这时 BD 与 MN 相交于点 O（1）求的度数；DOM（2）在图 2 中，求 D、N 两点间的距离；（3）若把长方形 AMNH 绕点 A 再顺时针旋转 15得到长方形 ARTZ,请问此时点 B 在矩形 ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由图 1 图 23-E【3-E【答案答案】解：（1）如图，设 AB 与 MN 相交于点 K，根据题意得：BAM=15，四边形 AMNH 是矩形，M=90。AKM=90BAM=75。BKO=AKM=75。，四边形 ABCD 是正方形，ABD=45。DOM=BKO+ABD=75+45=120。（2）连接 AN，交 BD 于 I，连接 DN，NH=，AH=，H=90，7AE27EF32。HAN=30。AN=2NH=7。NH3tan HANAH3由旋转的性质：DAH=15，DAN=45。DAC=45，A，C，N 共线。四边形 ABCD 是正方形，BDAC。AD=CD=，。NI=ANAI=73=4。3 21DIAI AC2221 ABCD32在 RtDIN 中，。2222DNDINI345（3）点 B 在矩形 ARTZ 的外部。理由如下：如图，根据题意得：BAR=15+15=30。R=90，AR=，。727AR7 32AK=cos30332，AB=。7 39 27 31621473 2=03333 27 33点 B 在矩形 ARTZ 的外部。【考点考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。【分析分析】（1）由旋转的性质，可得BAM=15，即可得OKB=AOM=75，又由正方形的性质，可得ABD=45，然后利用外角的性质，即可求得DOM 的度数。（2）首先连接 AM，交 BD 于 I，连接 DN，由特殊角的三角函数值，求得HAN=30，又由旋转的性质，即可求得DAN=45，即可证得 A，C，N 共线，然后由股定理求得答案。（3）在 RtARK 中，利用三角函数即可求得 AK 的值，与 AB 比较大小，即可确定 B 的位置。3-F3-F 如图，ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF 的顶点 E 与ABC的斜边 BC 的中点重合将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=a，CQ=时，P、Q9a2两点间的距离(用含 a 的代数式表示)3-F【3-F【答案答案】解：（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC。AP=AQ，BP=CQ。E 是 BC 的中点，BE=CE。在BPE 和CQE 中，BE=CE，B=C，BP=CQ，BPECQE（SAS）。（2）连接 PQ。ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45。BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45。BEP=EQC。BPECEQ。BPBECECQBP=a，CQ=，BE=CE，9a2，即 BE=CE=。BC=。aBE9BEa23 2a23 2aAB=AC=BCsin45=3a。AQ=CQAC=，PA=ABBP=2a。3a2在 RtAPQ 中，。222235PQAQAPa2a=a22【考点考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析分析】（1）由ABC 是等腰直角三角形，易得B=C=45，AB=AC，又由 AP=AQ，E 是 BC 的中点，利用 SAS，可证得：BPECQE。（2）由ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，易得B=C=DEF=45，然后利用三角形的外角的性质，即可得BEP=EQC，则可证得：BPECEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长，即可得 BC 的长，从而求得 AQ 与 AP 的长，利用勾股定理即可求得 P、Q 两点间的距离。3-G3-G如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时BD=CF，BDCF 成立（1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转（090）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G求证：BDCF；当 AB=4，AD=时，求线段 BG 的长23-G【3-G【答案答案】解：（1）BD=CF 成立。理由如下：ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90。BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF。在BAD 和CAF 中，AB=AC，BAD=CAF，BADCAF（SAS）。BD=CF。（2）证明：设 BG 交 AC 于点 MBADCAF（已证），ABM=GCM。又BMA=CMG，BMACMG。BGC=BAC=90。BDCF。过点 F 作 FNAC 于点 N。在正方形 ADEF 中，AD=DE=，2。AN=FN=AE=1。2222AEAD+DE2+2212在等腰直角ABC 中，AB=4，CN=ACAN=3，。2222BCAB+AC4+44 2在 RtFCN 中，。FN1tan FCNCN3在 RtABM 中，。AM=。AM1tan FCNtan ABMAB314AB33CM=ACAM=4，。4833222244 10BMAB+AM4+33BMACMG，即，CG=。BMCMBACG4 108334CG4 105在 RtBGC 中，。22224 108 10BGBCCG4 255【考点考点】等腰直角三角形和正方形的性质，全等三角形、相似三角形，旋转的性质，勾股定理。【分析分析】（1）ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，易证得BADCAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得 BD=CF。（2）由BADCAF，可得ABM=GCM，又由对顶角相等，易证得BMACMG，根据相似三角形的对应角相等，可得 BGC=BAC=90，即可证得 BDCF。首先过点 F 作 FNAC 于点 N，利用勾股定理即可求得 AE，BC 的长，继而求得 AN，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得 AM=。然后利用BMACMG，求得 CG 的长，再由勾股定14AB33理即可求得线段 BG 的长。3-H3-H如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=2，BD=2 3，AC，BD 相交于点 O（1）求边 AB 的长；（2）如图 2，将一个足够大的直角三角板 60角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处，绕点 A 左右旋转，其中三角板 60角的两边分别与边 BC，CD 相交于点 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G判断AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；旋转过程中，当点 E 为边 BC 的四等分点时（BECE），求 CG 的长3-H【3-H【答案答案】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，AOB 为直角三角形，且 OA=AC=1，OB=BD=3。1212在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB=。2222OAOB1(3)2（2）AEF 是等边三角形。理由如下：由（1）知，菱形边长为 2，AC=2，ABC 与ACD 均为等边三角形。BAC=BAE+CAE=60。又EAF=CAF+CAE=60，BAE=CAF。在ABE 与ACF 中，BAE=CAF，AB=AC=2，EBA=FCA=60，ABEACF（ASA）。AE=AF。AEF 是等腰三角形。又EAF=60，AEF 是等边三角形。BC=2，E 为四等分点，且 BECE，C E=，BE=。1232由知ABEACF，CF=BE=。32EAC+AEG+EGA=GFC+FCG+CGF=180（三角形内角和定理），AEG=FCG=60（等边三角形内角），EGA=CGF（对顶角），EAC=GFC。在CAE 与CFG 中，EAC=GFC，ACE=FCG=60，CAECFG。，即。解得：CG=。CGCFCECA3CG212238【考点考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】（1）根据菱形的性质，确定AOB 为直角三角形，然后利用勾股定理求出边 AB 的长度。（2）确定一对全等三角形ABEACF，得到 AE=AF，再根据已知条件EAF=60，可以判定AEF 是等边三角形。确定一对相似三角形CAECFG，由对应边的比例关系求出 CG 的长度。