高等数学下册知识点.pdf
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1、高等数学(下)知识点第 1 页 共 18 页高等数学下册知识点高等数学下册知识点第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数一、填空与选择一、填空与选择1、已知点A(,)321和点B(,)72 3,取点M使MBAM2,则向量OM=。2 已知点A(,)012和点B(,)1 10,则0AB=。3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为 ,,则coscoscos222=。4、设向量a的方向角3,为锐角,且4a,则a=。5、向量)5,2,7(a在向量)1,2,2(b上的投影等于。6、过点121,P且与直线1432tztytx,垂直的平面方程为_ 7、已知两直线方程是130211:1zyxL,1
2、1122:2zyxL,则过1L且平行2L的平面方程为_8、设直线182511:1zyxL,03206:2zyyxL,则1L与2L的夹角为()(A)6 (B)4 (C)3 (D)29、平面AxByCzD 0过x轴,则()(A)AD 0(B)BC00,(C)BC00,(D)BC 010、平面3510 xz()(A)平行于zox平面(B)平行于y轴(C)垂直于y轴(D)垂直于x轴11、点M(,)121到平面xyz22100的距离为()(A)1(B)1 (C)1(D)1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为。13、过点(,)121与向量kjSkjiSrrrrr21,32平行的平面方程为。14、
3、平面0218419zyx和0428419zyx之间的距离等于。15、过点(,)0 2 4且与平面xz21及yz32都平行的直线方程为。16、过点(,)2 0 3并与xyzxyz247035210垂直的平面的方程为。二、完成下列各题二、完成下列各题1、设)(,82,13baOCbaOBbaOC与b是不平行的非零向量,求的值,使CBA、三点在同一直线上。2、已知不平行的两向量a和b,求它们的夹角平分线上的单位向量。3、设点)1,0,1(A为矢量AB的起点,ABAB,10与x轴、y轴的夹角分别为oo45,60,试求:(1)AB与z轴的夹角v;(2)点B的坐标。4、求与向量kjiarrrr22共线且满
4、足18 xarr的向量xr。5、若平面过x轴,且与xoy平面成o30的角,求它的方程。第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数(一)(一)向量及其线性运算向量及其线性运算1 1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;高等数学(下)知识点第 2 页 共 18 页2 2、线性运算:加减法、数乘;线性运算:加减法、数乘;3 3、空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4 4、利用坐标做向量的运算:设利用坐标做向量的运算:设,),(zyxa
5、aaa r),(zyxbbbb r则则 ,;),(zzyyxxbabababarr),(zyxaaaar5 5、向量的模、方向角、投影:向量的模、方向角、投影:1 1)向量的模:向量的模:;222zyxrr2 2)两点间的距离公式:两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxxBA3 3)方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4 4)方向余弦:方向余弦:rzryrxrrrcos ,cos ,cos1coscoscos2225 5)投影:投影:,其中,其中为向量为向量与与的夹角。的夹角。cosPraajurrrarur(二)(二)数量积,
6、向量积数量积,向量积1 1、数量积:数量积:cosbabarrrr1 1)2aaarrr2 2)barr0barrzzyyxxbabababarr2 2、向量积:向量积:bacrrr大小:大小:,方向:,方向:符合右手规则符合右手规则sinbarrcbarrr,1 1)0rrraa2 2)barr/0rrrba高等数学(下)知识点第 3 页 共 18 页zyxzyxbbbaaakjibarrrrr运算律:反交换律运算律:反交换律 baabrrrr(三)(三)曲面及其方程曲面及其方程1 1、曲面方程的概念:曲面方程的概念:0),(:zyxfS2 2、旋转曲面:旋转曲面:面上曲线面上曲线,yoz0
7、),(:zyfC绕绕轴旋转一周:轴旋转一周:y0),(22zxyf绕绕轴旋转一周:轴旋转一周:z0),(22zyxf3 3、柱面:柱面:表示母线平行于表示母线平行于轴,准线为轴,准线为的柱面的柱面0),(yxFz00),(zyxF4 4、二次曲面二次曲面1 1)椭圆锥面:椭圆锥面:22222zbyax2 2)椭球面:椭球面:1222222czbyax旋转椭球面:旋转椭球面:1222222czayax3 3)单叶双曲面:单叶双曲面:1222222czbyax高等数学(下)知识点第 4 页 共 18 页4 4)双叶双曲面:双叶双曲面:1222222czbyax5 5)椭圆抛物面:椭圆抛物面:zby
8、ax22226 6)双曲抛物面(马鞍面):双曲抛物面(马鞍面):zbyax22227 7)椭圆柱面:椭圆柱面:12222byax8 8)双曲柱面:双曲柱面:12222byax9 9)抛物柱面:抛物柱面:ayx 2(四)(四)空间曲线及其方程空间曲线及其方程1 1、一般方程:一般方程:0),(0),(zyxGzyxF2 2、参数方程:参数方程:,如螺旋线:,如螺旋线:)()()(tzztyytxxbtztaytaxsincos3 3、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影,消去,消去,得到曲线在面,得到曲线在面上的投影上的投影0),(0),(zyxGzyxFzxoy00),(zyxH(
9、五)(五)平面及其方程平面及其方程1 1、点法式方程:点法式方程:0)()()(000zzCyyBxxA 法向量:法向量:,过点,过点),(CBAn r),(000zyx高等数学(下)知识点第 5 页 共 18 页2 2、一般式方程:一般式方程:0DCzByAx截距式方程:截距式方程:1czbyax3 3、两平面的夹角:两平面的夹角:,),(1111CBAn r),(2222CBAn r222222212121212121cosCBACBACCBBAA 210212121CCBBAA 21/212121CCBBAA4 4、点点到平面到平面的距离:的距离:),(0000zyxP0DCzByAx2
10、22000CBADCzByAxd(六)(六)空间直线及其方程空间直线及其方程1 1、一般式方程:一般式方程:0022221111DzCyBxADzCyBxA2 2、对称式(点向式)方程:对称式(点向式)方程:pzznyymxx000 方向向量:方向向量:,过点,过点),(pnms r),(000zyx3 3、参数式方程:参数式方程:ptzzntyymtxx0004 4、两直线的夹角:两直线的夹角:,),(1111pnms r),(2222pnms r222222212121212121cospnmpnmppnnmm高等数学(下)知识点第 6 页 共 18 页 21LL0212121ppnnmm
11、 21/LL212121ppnnmm5 5、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,222222sinpnmCBACpBnAm /L0CpBnAm LpCnBmA第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用(一)(一)基本概念基本概念1 1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。2 2、多元函数:多元函数:,图形:,图形:),(yxfz 3 3、极限:极限:Ayxfyxyx),(lim),
12、(),(004 4、连续:连续:),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5 5、偏导数:偏导数:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006 6、方向导数:方向导数:其中其中为为的方向角。的方向角。coscosyfxflf,l7 7、梯度:梯度:,则,则。),(yxfz jyxfiyxfyxgradfyxrr),(),(),(0000008 8、全微分:设全微分:设,则,则),(yxfz dddzzzxyxy(二)(二)性质性质1 1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
13、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:高等数学(下)知识点第 7 页 共 18 页偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续充分条件充分条件必要条件必要条件定义定义122342 2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)3 3、微分法微分法1 1)定义:定义:ux2 2)复合函数求导:链式法则复合函数求导:链式法则 z 若若,则,则 (,),(,),(,)zf u v uu x y vv x yvy,zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy3 3)隐函数求导:两
14、边求偏导,然后解方程(组)隐函数求导:两边求偏导,然后解方程(组)(三)(三)应用应用1 1、极值极值1 1)无条件极值:求函数无条件极值:求函数的极值的极值),(yxfz 解方程组解方程组 求出所有驻点,对于每一个驻点求出所有驻点,对于每一个驻点,令,令00yxff),(00yx,),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy若若,函数有极小值,函数有极小值,02 BAC0A若若,函数有极大值;,函数有极大值;02 BAC0A若若,函数没有极值;,函数没有极值;02 BAC若若,不定。,不定。02 BAC2 2)条件极值:求函数条件极值:求函数在条件在条件下的极值下的极值
15、),(yxfz 0),(yx高等数学(下)知识点第 8 页 共 18 页令:令:LagrangeLagrange 函数函数),(),(),(yxyxfyxL解方程组解方程组 0),(00yxLLyx2 2、几何应用几何应用1 1)曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲线曲线,则,则上一点上一点(对应参数为(对应参数为)处的)处的)()()(:tzztyytxx),(000zyxM0t切线方程为:切线方程为:)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为:法平面方程为:0)()()(000000zztzyytyxxtx2 2)曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线曲面曲面,则,则上一
16、点上一点处的切平面方程为:处的切平面方程为:0),(:zyxF),(000zyxM0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为:法线方程为:),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章第十章 重积分重积分(一)(一)二重积分二重积分1 1、定义:定义:nkkkkDfyxf10),(limd),(2 2、性质:(性质:(6 6 条)条)3 3、几何意义:曲顶柱体的体积。几何意义:曲顶柱体的体积。4 4、计算:计算:1 1)直角坐标直角坐标,bxaxyxyxD)()(),(21高等数学(下)知
17、识点第 9 页 共 18 页21()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy,dycyxyyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx2 2)极坐标极坐标)()(),(21D21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf (二)(二)三重积分三重积分1 1、定义:定义:nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2 2、性质:性质:3 3、计算:计算:1 1)直角坐标直角坐标 -“先一后二先一后二”Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先二后一先二后
18、一”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(2 2)柱面坐标柱面坐标,zzyxsincos(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3 3)球面坐标球面坐标高等数学(下)知识点第 10 页 共 18 页cossinsincossinrzryrx2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr(三)(三)应用应用曲面曲面的面积:的面积:DyxyxfzS),(,),(:yxyzxzADdd)()(122第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(一)(一)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1 1、定义:定
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