高中数学立体几何知识点归纳总结.pdf

高中数学立体几何知高中数学立体几何知识识点点归纳总结归纳总结一、立体几何知一、立体几何知识识点点归纳归纳第一章第一章 空空间间几何体几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱棱柱 1.1 棱柱棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2 相关棱柱几何体系列相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3 棱柱的性棱柱的性质质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4 长长方体的性方体的性质质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211ACABADAA（了解）长方体的一条对角线与过顶点 A 的三条棱1AC所成的角分别是，那么，l上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上EBDCAFBDEAFCC1D1B1CDABA1 ，；222coscoscos1222sinsinsin2（了解）长方体的一条对角线与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是，1AC，则，.222coscoscos2222sinsinsin11.5 侧侧面展开面展开图图：正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6 面面积积、体、体积积公式：公式：（其中 c 为底面周长，h 为棱2Sc hSc hSSh 直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V柱的高）2.圆圆柱柱2.1 圆圆柱柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2 圆圆柱的性柱的性质质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3 侧侧面展开面展开图图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4 面面积积、体、体积积公式公式：S圆圆柱柱侧侧=；S圆柱全=，V圆柱=S底h=（其中 r 为底面半径，h 为圆柱高）2 rh222rhr2r h3.棱棱锥锥3.1 棱棱锥锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2 棱棱锥锥的性的性质质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：为直角三角形）,SOBSOHSBHOBHVVVV3.3 侧侧面展开面展开图图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。3.4 面面积积、体、体积积公式：公式：S正棱锥侧=，S正棱锥全=，V棱锥=.（其中 c 为底面周长，12ch12chS底13Sh底侧面斜高，h 棱锥的高）h上 上 上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上上 上上 上 上 上CAAOCOBB上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上上 上上 上 上 上上 上 上 上OCDABHS 4.圆锥圆锥4.1 圆锥圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2 圆锥圆锥的性的性质质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如右图：SABV如右图：.222lhr4.3 圆锥圆锥的的侧侧面展开面展开图图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4 面面积积、体、体积积公式：公式：S圆锥侧=，S圆锥全=，V圆锥=（其中rl()r rl213r hr 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长）5.棱台棱台5.1 棱台棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2 正棱台的性正棱台的性质质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；如右图：四边形都是直角,O MNO O B BO梯形棱台经常补成棱锥研究.如右图：，注意考虑相似比.SO MVVVV上SON,SOB上SOB上上5.3 棱台的表面棱台的表面积积、体、体积积公式：公式：侧，（其中是上，SSS上上上上上上S上上1S)3VSSS h上上上上上,S S下底面面积，h 为棱台的高）6.圆圆台台6.1 圆圆台台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.6.2 圆圆台的性台的性质质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的应用.SO ASOBVV上上上6.3 圆圆台的台的侧侧面展开面展开图图是一个扇是一个扇环环；6.4 圆圆台的表面台的表面积积、体、体积积公式：公式：，22()SrRRr l上上r rl lh h上 上 上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上上 上上 上 上 上上 上 上 上AOBS上 上 上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上上 上 上 上上 上上 上 上 上 上 上NMACBDOCDABSOl l上 上 上 上 上 上r rR Rh h上 上 上 上 上 上上 上 上 上 上 上上 上 上 上上 上上 上 上 上DOBOACS V圆圆台台，（其中 r，R 为上下底面半径，h 为高）2211S)33SSS hrrRRh上上上上上7.球球7.1 球球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2 球的性球的性质质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；（其中，球心到截面的距离为 d、22rRd球的半径为 R、截面的半径为 r）7.3 球与多面体的球与多面体的组组合体：合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4 球面球面积积、体、体积积公式：公式：（其中 R 为球的半径）2344,3SR VR球球例：（06 年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为323_（二）空（二）空间间几何体的三几何体的三视图视图与直与直观图观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正正视图视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正正视图视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图：3.1 直直观图观图是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2 斜二斜二测测法：法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy，（即取）；90 xoyr rd dR R上 上 上 上上 上上 上 上 上上 上 上 上AOO1BACDBCDOABOCAAc step2：画直观图时，把它画成对应的轴，取，它们确定的平,o x o y 45(135)x o yor面表示水平平面；step3：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行 x o y于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。结论结论：一般地，采用斜二：一般地，采用斜二测测法作出的直法作出的直观图观图面面积积是原平面是原平面图图形面形面积积的的倍倍.24解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。第二章第二章 点、直点、直线线、平面之、平面之间间的位置关系的位置关系一一一平面的基本性平面的基本性质质1.平面平面无限延展，无无限延展，无边边界界1.1 三个定理与三个推三个定理与三个推论论公理公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图图形形语语言：言：符号符号语语言：言：公理公理 2：不共：不共线线的三点确定一个平面.图图形形语语言：言：推推论论 1：直线与直线外的一点确定一个平面.图图形形语语言：言：推推论论 2：两条相交直线确定一个平面.图图形形语语言：言：推推论论 3：两条平行直线确定一个平面.图图形形语语言：言：用途：用于确定平面。公理公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图图形形语语言：言：符号符号语语言：言：形形语语言，文字言，文字语语言，符号言，符号语语言的言的转转化：化：（二）空（二）空间图间图形的位置关系形的位置关系1.空空间间直直线线的位置关系：的位置关系：I共面:ab=A,a/b异面:a与b异面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：/,/ab bcac1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互相等或互补补。1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。图图形形语语言：言：a AP 符号符号语语言：言：PAaPAaAa上上上1.4 异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.0,90如右图，在空间任取一点 O，过 O 作，则/,/aa bb所成的角为异面直线所成的角。特特别别地，找异面地，找异面,a b,a b直直线线所成的角所成的角时时，经经常把一条异面直常把一条异面直线线平移到另一条异面直平移到另一条异面直线线的特殊点（如的特殊点（如线线段中点，端点等）上，形成异面直段中点，端点等）上，形成异面直线线所成的角所成的角.2.直直线线与平面的位置关系：与平面的位置关系：/llAllI图图形形语语言：言：3.平面与平面的位置关系：平面与平面的位置关系：I平行：/斜交：=a相交垂直：（三）平行关系（包括（三）平行关系（包括线线面平行，面面平行）面平行，面面平行）1.线线面平行：面平行：定义：直线与平面无公共点.判定定理：（线线平行线面平行）【如图】/abaab性质定理：（线面平行线线平行）【如图】/aaabbIbaba O 判定或证明线面平行的依据：（i）定定义义法（反法（反证证）：（用于判断）；（ii）判定定）判定定/ll I理：理：“线线线线平行平行面面平行面面平行”（用于（用于证证明）；（明）；（iii）“面面平行面面平行/abaab/aa线线面平行面平行”（用于（用于证证明）；明）；（4）（用于判断）；/babaa2.线线面斜交：面斜交：lAI直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如如图图】于 O，PO则 AO 是 PA 在平面内的射影，则就是直线 PA 与平面PAO所成的角。范围：，注：若，则直线 与平面所0,90/ll或l成的角为；若，则直线 与平面所成的角为。0ll903.面面平行：面面平行：定义：；/I判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：【如下如下图图】,/,/a babO abIOba abOOba 图 图图推推论论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：【如上图】,/,/a babO a baa bbI判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.【如右图】,/aa判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定 2 APOa 面面平行的性面面平行的性质质：（1）（面面平行线面平行）；（2）；/aa/aabbII（面面平行线线平行）（3）夹夹在两个平行平面在两个平行平面间间的平行的平行线线段相等。段相等。【如图】（四）垂直关系（包括（四）垂直关系（包括线线面垂直，面面垂直）面垂直，面面垂直）1.线线面垂直面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意都有，且，则.,alall判定定理：（线线垂直线面垂直）,a babOlllalb I性质：（1）（线面垂直线线垂直）；（2）；,lala,/abab证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）（常用）；（3）（较/abba常用）；（4）；（5）（面面垂直线面垂直）常用；常用；/aaabaaabI三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，（1）斜线相等PO射影相等；（2）斜线越长射影越长；（3）垂线段最短。【如如图图】；PBPCOBOCPAPBOAOB（II）三垂线定理及逆定理：已知，斜线 PA 在平面内PO的射影为 OA，a 若，则垂直射影垂直斜线，此为aOAaPA三垂线定理；若，则垂直斜线垂直射影，此为aPAaOA三垂线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】3.2 面面斜交面面斜交二面角：（1）定义：【如图】aOPAOABCP ,OBl OAlAOBl 上上上上上上上上上范围：0,180 AOB作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3 面面垂直面面垂直（1）定）定义义：若二面角：若二面角的平面角的平面角为为，则则；l 90（2）判定定理：如果一个平面）判定定理：如果一个平面经过经过另一个平面的一条垂另一个平面的一条垂线线，那么，那么这这两个两个平面互相垂直平面互相垂直.（线线面垂直面垂直面面垂直）面面垂直）aa（3）性）性质质：若，二面角的一个平面角为，则MON；90MON（面面垂直线面垂直）；aABaaaABI.AaAaa二、立体几何常二、立体几何常见题见题型型归归纳纳例例讲讲1、概念辨析、概念辨析题题：（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。（3）相关例相关例题题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：（04 年北京卷）设 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法：,；,/mnmn/,/,mm/,/mnmn ，说法正确的序号是：_,/2、证证明明题题。证证明平行关系，垂直关系等方面的明平行关系，垂直关系等方面的问题问题。（1）基）基础础知知识识网网络络：a ABa ABa A/aaa上 平行关系平行关系平面几何知识平面几何知识线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行垂直关系垂直关系平面几何知识平面几何知识线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直判定性质判定推论性质判定判定性质判定面面垂直定义1.,/abab2.,/aabb3.,/aa4./,aa5./,L L平行与垂直关系可互相转化请请根据以上知根据以上知识识网网络图络图，写出相关定理的，写出相关定理的图图形形语语言与符号言与符号语语言言.（2）相关例）相关例题题：例 1（06 广州市高一质量抽测）如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F 为棱 AD、AB 的中点（1）求证：EF平面 CB1D1；（2）求证：B1D1平面 CAA1C1 ABCDA1B1C1D1EF 例 2.如图，已知矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线 BD 把ABD 折起，使 A 移到点，且在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上1A1A（）求证：；1BCAD（）求证：平面平面；1ABC 1ABD（）求三棱锥的体积（答案：1ABCD）148ABCDV3、计计算算题题。包括空。包括空间间角（异面直角（异面直线线所成的角，所成的角，线线面角，二面角）和空面角，二面角）和空间间几何体的表面几何体的表面积积、体、体积积的的计计算。算。（1）对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲”：step1：找；step2：证；step3：计算。1.1 求异面直求异面直线线所成的角所成的角：0,90解题步骤：一找（作）一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二二证证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三三计计算：算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；1.2 求直求直线线与平面所成的角与平面所成的角：关：关键键找找“两足两足”：垂足与斜足：垂足与斜足0,90 解解题题步步骤骤：一找：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二二证证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三三计计算：算：常通过解直角三角形，求出线面角。1.3 求二面角的平面角求二面角的平面角0,解解题题步步骤骤：一找：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二二证证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三三计计算：算：通过解三角形，求出二面角的平面角。（2）对对于几何体的表面于几何体的表面积积、体、体积积的的计计算，关算，关键键是搞清量与量之是搞清量与量之间间关系，熟关系，熟练应练应用公式用公式进进行行计计算。算。已知三已知三视图视图，求几何体体，求几何体体积积。平面。平面图图形直形直观图观图面面积积与原与原图图形面形面积积的互相的互相转转化。化。（3）相关例）相关例题题：例 1.如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面 PAC平面 PBD；（2）求 PC 与平面 PBD 所成的角；例 2一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，若，那么原ABO 的面积是（）ABO1O B A B C D 122222 2例例 3.（06 深圳宝安中学期末考）深圳宝安中学期末考）如图，为一个几何体的正视图，侧视图和俯视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为，。俯视图中，内、均外为正方形，边长分别为，几何体的2424高为，求此几何体的表面积和体积。3答案答案S全面全面积积=20+12,1028V上上例例 4.如图所示，已知正四棱锥 SABCD 侧棱长为，底面边长为，E 是 SA 的中点，则23异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为（B）(A)90(B)60(C)45(D)30例 5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，平面 ABCD，且 PAAB，点 E 是 PD 的,ABAC PA中点.（1）求证：；（2）求证：平面 AEC；（3）若ACPBPB/，求三棱锥 EACD 的体积；（4）求二PAABACa面角 EACD 的大小.（单元考题）三、三、训练题训练题1如图，正方体中，棱长为（1）求证：直线平面1111DCBAABCDa/1BA1ACD（2）求证：平面平面；1ACDDBD1AByxO 2.如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：AC平面 B1D1DB;(2)求证：BD1平面 ACB1(3)求三棱锥 B-ACB1体积3.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD，E 是 PC 的中点。求证：（1）PA平面 BDE；（2）BD平面 PAC 您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。D1C1B1A1CDBA